e^(x^2) * e^(j√2x) = ?

質問

次の2階非斉次線形微分方程式の一般解を求めよ。
(d^2 y)/(dx^2) - 4x dy/dx + 4(x^2)y = e^(x^2)

・・・という問題で、
（※下記の j は虚数の i と読み替えてください）

　　　　　v = e^(x^2)

　　　　　(d^2 u)/(dx^2) + 2u = 0
u = d^(λx)とおいて、
　　　　　λ^2 + 2 = 0
　　　　　λ=j√2, -j√2
よって、独立解は
　　　　　e^(j√2), e^(-j√2)

y = uvであるから
　　　　　y1 = e^(x^2) * e^(j√2x)
　　　　　　　= e^(x^2) cos √2x　　　　　　　　　　←？
　　　　　　　　　　：

・・・と書いてあるのですが、オイラーの公式で

　　　　　e^(j√2x) = cos √2x + j sin √2x

なので、

　　　　　y1 = e^(x^2) * e^(j√2x)
　　　　　　　= e^(x^2) { cos √2x + j sin √2x }

じゃないんですか？
なぜ、j sin √2x が消えているんですか？
(ちなみに、y2 は -j も消えて y2 = e^(x^2) sin √2x になっています・・・)
どうか教えてください。お願いします。

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

解の表示を複素数も許容するのか，実数だけにしたいのかということが混乱の原因になっているように思います．

虚数単位にiではなくてjを使っているところをみると，質問者様は工学系の先生が書かれた教科書で勉強しているのでしょう．

数学ならば解なら方程式を満たせばよろしいとなりますが，工学や物理の問題は実数である必要があることがほとんどです．だから，解は最終的には実数だけで記述することが多いのです．

（☆）y''-4xy'+4x^2y=e^{x^2}

まず，☆を解くためにy=ue^{x^2}とおき，uの微分方程式を導きます．それは次のようになります．

（★）u''+2u=1

これの同次形は

u''+2u=0

となります．これはただちに解けて（というか覚えておくべき）

(1)u(x)=C_1e^{i√2x}+C_2e^{-i√2x}

となります．C_1,C_2は複素数でよいのですが，もし実数の解が必要ならこれに制限が加わります．u^*=uより

C_1^*=C_2

の関係があります．C_2=(A+iB)/2と実部A/2，虚部B/2に分けるとC_1=(A-iB)/2で

u(x)={(A-iB)e^{i√2x}+(A+iB)e^{-i√2x}}/2
=A(e^{i√2x}+e^{-i√2x})/2-iB(e^{i√2x}-e^{-i√2x})/2

つまり次のようになります．

(2)u(x)=Acos(√2x)+Bsin(√2x)

※もちろん，(2)でA,Bが虚数でも解にはなります．しかし，実数解を考えるときは普通は係数など実数だけで記述します．

次に，特殊解ですが★の形からu=1/2が解の一つであることは容易にわかります．

こうして，★の一般解は同次形の一般解＋特殊解として，

u(x)=C_1e^{i√2x}+C_2e^{-i√2x}+1/2

または

u(x)=Acos(√2x)+Bsin(√2x)+1/2

となります．y=ue^{x^2}によって☆の一般解は

y=C_1e^{x^2}e^{i√2x}+C_2e^{x^2}e^{-i√2x}+e^{x^2}/2

または

y=e^{x^2}{Acos(√2x)+Be^{x^2}sin(√2x)}+e^{x^2}/2

となります．

お礼

ノートに書き写して、一通り計算しました。
なるほど、いつものcosθとsinθの式を使って途中で置換しているんですね。
確かにそれなら問題ないですね。 -j が消えた理由も分かりました。
ありがとうございました！

回答No.2

Tacosan

「今回の質問にはまだ積分定数が出てきてないのでできない」というわけでもなかったりします. 単純に
y1 = e^(x^2) * e^(j√2x) = e^(x^2) cos √2x
という式がおかしい (2つ目の等号が成り立たない), というだけのことです.

途中を飛ばして
y1 = e^(x^2) cos √2x
y2 = e^(x^2) sin √2x
が斉次微分方程式の基本解
ならいいんです.

そもそも微分方程式
(d^2 u)/(dx^2) + 2u = 0
の基本解系は
e^(j√2x), e^(-j√2x)
でも
cos √2x, sin √2x
でも問題ありません. つまり,
(d^2 y)/(dx^2) - 4x dy/dx + 4(x^2)y = 0
の基本解系を
e^(x^2)e^(j√2x), e^(x^2)e^(-j√2x)
としても
e^(x^2)cos √2x, e^(x^2)sin √2x
としてもいいんです.

お礼

ありがとうございます。
なるほど、問題がないことは分かりました。しかし、それだと「答えを知ってるから解ける（知らないと解けない）」という天下り的な解き方しかできないですよね・・・。

回答No.1

Tacosan

言われる通りです. 「？」のところがこの質問文のようになっているとしたらおかしい.

さいしょから sin/cos が出てくるように線形結合を作っておけばいいんだが.

お礼

ありがとうございます。
上記の質問は省略して書いたので、省略しないで書いておきます：

次の2階非斉次線形微分方程式の一般解を求めよ。ただし、斉次方程式の基本解は微分方程式を標準形に変換して求めよ。
(d^2 y)/(dx^2) - 4x dy/dx + 4(x^2)y = e^(x^2)

斉次微分方程式
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) - 4x dy/dx + 4(x^2)y = 0
は標準形へ変換して次のように解くことができる。
　　　　　v = exp(∫2xdx)
　　　　　　= e^(x^2)

uに関する微分方程式
　　　　　(d^2 u)/(dx^2) + 2u = 0
を、u = e^(λx)とおいて解くと、
　　　　　λ^2 + 2 = 0
　　　　　λ=j√2, -j√2
よって、uの独立解として
　　　　　e^(j√2), e^(-j√2)
を得る。
したがって、y = uvであるから

　　　　　y1 = e^(j√2x) * e^(x^2)
　　　　　　　= e^(x^2) cos √2x　　　　　　　　　　←？

　　　　　y2 = e^(-j√2x) * e^(x^2)
　　　　　　　= e^(x^2) sin √2x　　　　　　　　　　←？

が斉次微分方程式の基本解。
　　　　　W = |　e^(x^2) cos √2x　　　　　　　　　　e^(x^2) sin √2x　|
　　　　　　　　| 2xe^(x^2) cos √2x - √2xe^(x^2) sin √2x　　　　　2xe^(x^2) sin √2x + √2xe^(x^2) cos √2x　|
　　　　　　　= √2e^(2x^2)

・・・とまだまだ続きますが、結論だけ書いておくと、一般解は
　　　　　y = c1_0 e^(x^2) cos √2x + c2_0 e^(x^2) sin √2x + (1/2) e^(x^2)
です。

やっぱり、おかしいですよね？
実はこの本には、「非」でなくて、斉次線形微分方程式
　　　　　(d^2 y)/(dx^2) - 4x dy/dx + 4(x^2)y = 0
を解いている問題があります。
その問題では、uの独立解として
　　　　　e^(j√2), e^(-j√2)
を得た直後に
　　　　　y = { c1 * e^(j√2) + c2 * e^(-j√2) } e^(x^2)
を計算して（展開してまとめると）
　　　　　　= { (c1 + c2) cos √2x + (c1 + c2) j sin √2x } e^(x^2)
になり、
　　　　　c1' = c1 + c2
　　　　　c2' = j (c1 + c2)
と置くことで、
　　　　　　= { c1' cos √2x + c2' sin √2x } e^(x^2)
になります。
今回の質問の
　　　　　e^(x^2) cos √2x
　　　　　e^(x^2) sin √2x
に似ていると思いませんか？
ただし、これは積分定数があるから j を吸収したりできるわけで、今回の質問にはまだ積分定数が出てきてないのでできないですよね？
ロンスキャンWの二行目はちゃんとy1とy2を微分したものになっていますよね。
この最終的な答えが正しいなら「？」の部分も正しいということになります。
これが解けないと先に進めません。どうか助けてください。お願いします。