∫{{(x+1)^n - 1} / x}dx = ？

質問

nは任意の自然数です。
∫{{(x+1)^n - 1} / x}dxの積分がわかりません。
∫{(x+1)^n / x}dx - ∫(1/x )dxと変形することを思いついたのですが、すると今度は∫{(x+1)^n / x}dxがわかりません （＾＾；

nを定めてからの積分ならできるのですが、そうすると(x+1)^nの展開と、xで割って積分する作業が煩雑この上ありません。

こういった式でも「∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1) + C」のように簡潔な形に出来ないものでしょうか？
見覚えのない形の式の積分ですが、そもそも積分が可能でしょうか。

回答No.4

zk43

どうしてもn次の多項式になってしまうようですね。

被積分関数を見ると、
{(x+1)^n - 1} / {(x+1) - 1}
となっているので、これは初項１、公比x+1、項数nの等比数列
の和ですね。
なので、
{(x+1)^n - 1} / {(x+1) - 1}
＝1 + (x+1) + (x+1)^2 + … + (x+1)^(n-1)
となります。

各項を積分しても、やっぱりn次の多項式になって、簡潔には
なりませんね。
でも、２項展開するよりは、式はちょっとは綺麗かも・・・

f(x)=(x+1)^nとすると、被積分関数は
{f(x) - f(0)} / (x - 0)
になるので、図形的な意味づけができるかな？？？

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞被積分関数を見ると、
＞{(x+1)^n - 1} / {(x+1) - 1}
＞となっているので、これは初項１、公比x+1、項数nの等比数列

仰る通りの式に変形できますね。全く気がつきませんでした！
こう変形すれば確かに二項定理より綺麗な式になりますね！！

回答No.3

mis_take

ｔ＝ｘ＋１ で置換積分します。
答は Σ[k=1～n](ｘ＋１)^k／ｋ＋Ｃ

お礼

ご回答ありがとうございます。

え～…思わず目を疑ってしまいました。
と言うのも Σ[k=1～n](ｘ＋１)^k／ｋ＋Ｃ　を求めたいがために質問をしたんですよ…
個人的に、∫がΣになることに驚きと疑問を持っていたのですが、すでに広く知られていることでしたか……非常に残念です...

回答No.2

Mr_Holland

(x+1)^nを二項定理を使って、Σで表して積分してはいかがですか。
　積分は容易ですが、Σは外れないようです。
　　[k=1→n] Σ n_C_k /k x^k、ただし、n_C_kはコンビネーションを表す。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%AE%9A%E7%90%86#.E4.B8.80.E8.88.AC.E3.81.AE.E4.BA.8C.E9.A0.85.E5.AE.9A.E7.90.86

お礼

ご回答ありがとうございます。

Σって本当に厄介ですね…積分という方法からΣ[k=1～n]1/kの一般式を求めようと企んでいたのですがこの方法もダメそうです　ｆ（＾＾；

回答No.1

ONB

>(x+1)^nの展開と、xで割って積分する作業が煩雑この上ありません

そうでもないですよ。
(x+1)^n = x^n + nx^(n-1) + (n,2の二項係数)x^(n-2) + … + nx + 1
なので(二項定理)、
(x+1)^n - 1 = x^n + nx^(n-1) + (n,2の二項係数)x^(n-2) + … + nx
で、したがって
{(x+1)^n - 1} / x = x^(n-1) + nx^(n-2) + (n,2の二項係数)x^(n-3) + … + n
これは n-1 次の多項式に過ぎない(もともと0では定義されてませんが)ので、普通に積分できます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

もちろん二項定理を使って展開するのですが、展開した後に１を引いてそれぞれの項をｘで割って積分…という操作。簡単ですがｎが大きくなればなるほど作業が長引き、まるで頭をやわらかくさせる計算ドリルでもしているような錯覚に陥ってしまうのです。…面倒くさがり屋で申し訳ないです（汗