外測度と開集合・閉集合について

質問

添付の画像について２つ程質問があります。
(下層に画像の問題についての補足のせています)
(1)始めのA=∪[k→∞]Akである、のところがなぜ成り立つかがいまいち分かりません。
(文脈から「G^cは閉集合。よって…」とあるので開集合・閉集合の定理の中でA=∪[k→∞]Akが言えるものがあるのかなと探してたのですが分からず…)

(2)「もし、Σ[j=1→∞]Г(Dj)<∞であればlim[k→∞]Σ[j≧k]D(Гj)=0である…」の部分、本当はlim[k→∞]Σ[j≧k]Г(Dj)=0(誤植？)かと思うのですが、これもなぜ0になるかが分かりません。

以下画像の問題の補足をします。
問題は
「R^n上の外測度Гと、 R^n の部分集合E1, E2 に対して、d (E1, E2)[距離関数]>0ならばГ(E1UE2)=Г(E1)+Г(E2)が成立しているとする。 このとき
A をR^nの部分集合, G を開集合で A⊂GとしAn={x∈A|d(x,G^c)≧1/k}
(k=1,2,...) とおくと、
lim[k→∞] Г(Ak)=Г(A)
が成り立つ。」
というものです。G^cはRの補集合です。

[証明]
冒頭の証明は「Gが開集合なのでG^cは閉集合。よってA1⊂A2⊂…⊂Ak⊂…AかつA=∪[k→∞]Akである。」
とあり、以降続きが画像の部分です。

ご教授頂けますと幸いです。
何卒宜しくお願い致しますm(_ _)m

回答No.4

tmppassenger · ベストアンサー

> d(x,y)=0⟺x=y
> d:X×X→[0, ∞)なので、d(x,y)≥0 であること
これは「Xの点と、Xの点との距離」が満たすべき「性質」、でしょう。

今言っているのは「Xの点と、Xの『部分集合』との距離」の『定義』。良く見ましょう。
その本には書いてないというのなら、その本では点と集合との距離の定義は前提知識として扱っていると言うこと。

検索すれば出てくる。例えば：
https://nekodamashi-math.blog.ss-blog.jp/2018-11-08-2

お礼

すみません、点と「集合」との距離ということで誤解しているところがありました。
ただ、見ている参考書には定義がないのと、点と「集合」との距離の概念を初めて知ったので一度ネットで色々調べてみようと思います。
最後まで丁寧に教えてくださりありがとうございます！助かりました。

回答No.3

tmppassenger

> (1)の中段でd(y, G^c)=inf{d(y, z)|z∈G^c}となっていますが、これはなぜでしょうか…？

集合間の距離とか、集合と点の距離の『定義』って、今まで出てきませんでしたか？

お礼

補足で書いたことが不足してました、、
d:X×X→[0, ∞)なので、d(x,y)≥0 であることも把握しています。

補足

今見ている参考書には定義が載っていないのです…
ただ、一般的な定義
d(x,y)=0⟺x=y
d(x,y)=d(y,x)
d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)（三角不等式）
を満たすものだという認識でいます。

回答No.2

tmppassenger

あ、ちなみに「『私が』書こうとした内容を文章で打ちこむと、読みづらくなってしまう」という意味です。どうでもいいですが念の為。

回答No.1

tmppassenger

文章で打つのは読みづらいですね...

補足

ご回答ありがとうございます！
確かに、文章だと読みづらいですよね、、すみませんm(_ _)m
入力するのも大変だったりするのでもう少し良い方法ないか考えておきます
(1)の中段でd(y, G^c)=inf{d(y, z)|z∈G^c}となっていますが、これはなぜでしょうか…？