1/sqrt(x^2+y^2) の x^j y^k

質問

二次元波動関数の運動を近似計算するために 1/r ≡ 1/sqrt(x^2+y^2) を x^j y^k 整数
べき乗の和として近似しようとしています。より具体的には、下のような近似を成り立
たせる係数 c[j,k] を旨く決めたいと思っています。ただし j,k ∈[-N,N] の整数で
す。 N は 2 か 3 か 4 です。

　　　　　　　　　　　　N　　　N
1/sqrt(x^2+y^2) ≒ Σ　　Σ 　 c[j,k] x^j y^k
　　　　　　　　　　　　j=-N　k=-N

皆様でしたら、この c[j,k] をどのように定めますでしょうか。

回答No.4

178-tall

対称式の手はじめは、x^2+y^2 = (x+y)^2 -2xy など。

回答No.3

178-tall

>中心力ポテンシャルは、人間が勝手に定めた x,y 軸の向きとは無関係に存在します。ですから近似式は x,y の入れ替えに対し形を保つ式でないと、不自然な解になると思います。

対称式、ということ？

c[j,k] = c[k,i] など。
sqrt(x^2+y^2) がそうなので、できるのでしよう。

ここ (数カテ) で続けるなら、それらしく条件を明記する。
そんな手間は省きたけりゃ、 (理カテ) で。

回答No.2

178-tall

>　1/√(x^2+y^2) = (1/x)/√{1+(y/x)^2} ～ (1/x)ΣCk*(y/x)^k

(1/x)ΣCk*(y^k)*{x^(-k)} の形じゃ、やはり NG ということ？

補足

>(1/x)ΣCk*(y^k)*{x^(-k)} の形じゃ、やはり NG ということ？

NG だと考えます。

中心力ポテンシャルは、人間が勝手に定めた x,y 軸の向きとは無関係に存在します。ですから近似式は x,y の入れ替えに対し形を保つ式でないと、不自然な解になると思います。

回答No.1

178-tall

「x^j y^k 整数べき乗の和として近似」したい理由を知りたいところ。

たとえば、
　1/√(x^2+y^2) = (1/x)/√{1+(y/x)^2} ～ (1/x)ΣCk*(y/x)^k
の形じゃ NG なわけ、など。

補足

御意見ありがとうございます。
>>「x^j y^k 整数べき乗の和として近似」したい理由を知りたいところ。
量子力学で中心力場における二次元波動関数の運動を近似計算するためです
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一次元の場合は、運動量と位置に対応する演算子:行列を使って 下のように波動関数を簡単に計算できます
http://loboskobayashi.wordpress.com/category/quantum-mechanics/mechanics-with-matrix/

二次元の場合でもポテンシャルが x^2 + y^2 の形ならば、波動関数をベクトルではなく行列 ψ にしてやり、x^2+y^2 ポテンシャル演算子の ψ への作用を Xx^2 ψ + ψ Xy^2 と計算できます。

二次元ポテンシャルが 1/r ≡ 1/sqrt(x^2 + y^2) の形のとき、同様な計算をさせるために、掲題のような近似を探しています。