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∀x∈Ｒに対して、Σ[k=0～∞] (-1)^k/(2k)!・x^2k
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- info22
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#1です。 >収束の定義式は、 >∀ε＞0, ∃N∈Ｎ, n＞N⇒｜an-α｜＜ε この定義では収束値αが既知でないと適用できません。この問題ではそのまま適用きないでしょう。 以下の収束の定義、ないし収束の判定法や収束半径（収束するxの範囲）を復習しなおしてください。何を示せばよいか？そしてどんな範囲のxに対して収束するか（収束半径）を考えてみてください。 収束半径 http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/series1/node7.html ダランベールの収束判定法 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E5%88%A4%E5%AE%9A%E6%B3%95 ３つの収束判定法 http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture/misc/series1/node5.html 無限級数の収束判定法 http://phaos.hp.infoseek.co.jp/part2/sequence/limit/appendices/criteria.htm べき級数関数の収束性 http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/050ksk.html A#1の >Σ[k=0～∞] (-1)^k/(2k)!・x^(2k) = -2(sin(x/2))^2 の収束値（収束関数）の -2(sin(x/2))^2=cos(x)-1 で左辺の収束範囲は |x|<∞です。 （cos(x)-1をマクローリン展開すると左辺の無限級数の式になります。） 最初の上の参考URLの定理11やダランベールの判定法を適用して |((-1)^(k+1)/(2(k+1))!・x^(2(k+1)))/((-1)^k/(2k)!・x^2k)| =|(x^2)/{2(k+1)(2k+1)}|→0(k→∞) となることを∀x∈Ｒに対して示せばいいでしょう。
- nag0720
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収束するかどうかを示すだけなら、 m＞x^2/2 となるmを１つ決めて、r=x^2/(2m) とすると、 k≧m なるkに対し、 x^(2k)/(2k)!＜x^(2m)/(2m)!*r^(2k-2m) 0≦r＜1 なので、この式の級数は収束しますね。 (-1)^k が付いてますがそのくらいは自分でやってみてください。
- kabaokaba
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ダランベールの判定法を使えば すぐ収束半径は求められます． ＞とりあえずxを固定して、nまでの和を求めてからそのnを∞にとばす方針のようなのですが その「方針」はどうやって決めたのでしょう？ ぶっちゃけた話，その方針では不可能でしょう． だって，この級数は cos(x) ですから．
- info22
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収束の定義式を補足に書いて下さい。 何を示せば収束するかがわからなければ、すべきことが見えてこないですよ。 なお、収束することを示すことと、収束値を求めることは別ですが、 問題の式は Σ[k=0～∞] (-1)^k/(2k)!・x^(2k) = -2(sin(x/2))^2 に収束します。
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補足
収束の定義式は、 ∀ε＞0, ∃N∈Ｎ, n＞N⇒｜an-α｜＜ε です。 これを見ても何から始めればよいのかよくわからないので、アドバイスお願いします。