π-2Σ[k=1..∞]((-1)^k・sin(kx))/kが(-∞,+∞)で各点収束するか

このQ&Aのポイント
  • 質問文章中の数式について調べています。
  • 各点収束の定義とその条件を解説しています。
  • 単調減少の証明についての質問があります。
回答を見る
  • ベストアンサー

π-2Σ[k=1..∞]((-1)^k・sin(kx))/kが(-∞,+∞)で各点収束する?

π-2Σ[k=1..∞]((-1)^k・sin(kx))/kが(-∞,+∞)で各点収束するかを調べています。 各点収束の定義は 0<∀ε∈R,∀x∈(-∞,+∞),∃K∈N;K<n⇒|Σ[k=1..n]((-1)^k・sin(kx))/k-Σ[k=1..∞]((-1)^k・sin (kx))/k|<εです。つまり、各点収束とは取り合えずどんな形であれ,その区間で収束 すればその区間で各点収束するというのですよね。 Σ[k=1..∞]((-1)^k・sin(kx))/kは交項級数なのでlim[k→∞]sin(kx)/k=0と {sin(kx)/k}が単調減少(sin(kx)/k≧sin((k+1)x)/(k+1))が言えれば Σ[k=1..∞]((-1)^k・sin(kx))/kは収束する事が言えると思いますが 単調減少になる事がどうしても言えません。 どうすれば言えますでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.1

>単調減少になる事がどうしても言えません。 まずは自分の主張が正しそうか、いくつかの x 、おびよび k について、具体的に計算するべきでしょう。

Dominika
質問者

お礼

遅くなりましてすいません。 http://kouyama.math.u-toyama.ac.jp/main/education/2007/discmath/pdf/text/text05.pdf の定理2.18で解決致しました。

関連するQ&A

  • Σa_kとΣb_kを正項級数.lim(a_n/b_n)=0且つΣb_kが収束ならばΣa_kも収束

    [問]Σ[n=0..∞]a_kとΣ[n=0..∞]b_kを共に正項級数とする。 lim[n→∞](a_n/b_n)=0且つΣ[n=0..∞]b_kが収束ならばΣ[n=0..∞]a_kも収束。 を証明したいのですがどうすれば分かりません。 Σ[n=0..∞]a_kが正項級数とlim[n→∞]lim(a_n/b_n)=0より a_n≦0 これからどのようにすればいいのでしょうか?

  • Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の和は?

    Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!の収束・発散を判定し,収束ならその和を求めよ。 という問題です。 これは交項級数なので数列{5^n/(2n)!}が単調減少且つlim[n→∞]5^n/(2n)!=0より (∵比を採ると5^(n+1)/(2(n+1))!/5^n/(2n)!=2/((2n+2)(2n+1))で単調減少且つ極限値が0) Σ[n=0..∞](-1)^n5^n/(2n)!は収束。 となるのかとと思いますが和はどのように求めればいいのかわかりません。 どのようにして求めれるのでしょうか?

  • なぜδ(x)=lim k→∞ sin kx /πx になるのですか?わかりやすく教えてください!

    なぜδ(x)=lim k→∞ sin kx /πx になるのですか?わかりやすく教えてください!

  • 交項級数の収束値について

    (1) ∞ Σ(-3/2)^n/{(2n+5)*n!} n=0 (2) ∞ Σ{(-3/2)^n*(n+2)}/{(2n+5)*n!} n=0 の収束値を求めたいのですが、どなたかご教授お願いできませんでしょうか? 交項級数の収束条件を満たしていうので収束することは分かっているのですが、どのようにして求めればよいか皆目検討つきません。 よろしくおねがいします。

  • Σ[k=1..∞]e^(-kx)の導関数は項ごとの微分によって得られる事を示せ

    皆様こんにちは。 [Q]Σ[k=1..∞]e^(-kx)はx∈(0,∞)で収束する事を示せ。またこの和の導関数は項ごとの微分によって得られる事を示せ。 がなかなか示せません。 前半は下記の通り示してみました。 Σ[k=1..∞]e^(-kx)=Σ[k=1..∞]1/e^x(1/e^x)^(k-1)=1/e^x/1-(1/e^x) (∵初項1/e^x,公比1/e^xの無限等比級数でx∈(0,∞)では公比が|1/e^x|<1なので) これで正しいですよね? それと後半はどうやって示せますでしょうか?

  • 無限級数の一様収束

    無限級数の一様収束を考えています。 α>0を定数とする。ここで、 Σ[k=1→∞]exp(-kx)/(k+1) はx∈[α,∞)で一様収束することを示せ。 以上です。よろしくお願いします。

  • べき級数の収束

    sin(nπ/2) / n! z^n が第n項であるようなべき級数の収束半径を求めよ。 n 項と n+1 項の比をとるやり方でやっても、 sin が邪魔でうまく回答できません。どなたかご助言ください。

  • 収束半径の求め方

    y=a0Σn=0~∞(x^n/n!) 上記級数の収束半径を求めよという問題なのですが、 答えが、 r=lim n→∞|an/an+1|=lim n→∞(n+1)=∞ になることはわかっているのですが、 どのような考え方でこのようになるのかわかりません。 教えていただけましたら幸いです。 宜しくお願いいたします。

  • lnx のテイラー展開について

    lnx を、x=1でテイラー展開したとき、 テイラー級数が、区間(0,2]で lnx に収束することを 余剰項 R_n をつかって、区間(0,2]で lim   | R_n |= lim { 1/(n + 1) }*| (x - 1)/z |^(n+1) = 0 n -> ∞     n -> ∞ (zはxと1の間の数) とすることで証明したいのですが、どうしても0に収束させることが できません、、、やり方を知っている方がいたら教えてください。 zのとり方だけでもかまいません。

  • 収束半径に関する質問です。

    微積の本に次のような記述がありました。 ∞ Σa[n]x^nの収束半径をrとする。 n=1 L=lim|a[n+1]/a[n]|が存在すればr=1/L (証)x≠0に対し|a[n+1]x^(n+1)|/|a[n]x^n|→L|x|だから ダランベールの収束判定法(ratio test)より L|x|>1ならばΣa[n]x^nは発散 L|x|<1ならばΣa[n]x^nは収束 よって、r=1/Lだとわかる・・。 これに関して、収束のほうは L|x|<1ならばΣ|a[n]x^n|は収束 よってΣa[n]x^nは収束だから、納得できますが。 なぜいきなりL|x|>1ならばΣa[n]x^nは発散するのでしょうか? この本のratio testは、"正項級数"に関しての定理でした。 なので、 ratio testを適用すれば L|x|>1ならばΣ|a[n]x^n|は発散 としか言えないと思いました・・・(※) そこで、ratio testについていろいろ調べていたところ http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1221819332 ↑コチラに、ratio testの証明に関する記述がしてあるのを見つけました。 ですが、ここで書かれている証明には、私が持っている本に書いてある正項級数に関するものではなく、一般の級数に関してのもののように思います。そして証明も自分で読んでみて正しいように思いました。 [質問1] ratio testが正項級数に関して成り立つということしか知らなければ、 (※)の主張は正しいと思うのですがどうでしょうか? それとも、(※)からΣa[n]x^nの発散が導けるのでしょうか? [質問2] 上記のURLにある証明は正しいのでしょうか? (つまりratio testは正項級数に限らず成り立つのでしょうか?)