数列 0，r，2r^2，……，kr^k，…… の初項から第n項までの和

質問

数列 0，r，2r^2，……，kr^k，…… の初項から第n項までの和 Sn　を求めよ。

という問題で、一般項 an=(n-1)r^n-1 になると考え

初項 (n-1) 公比 r なので

Sn = (n-1)(1-r^n)/(1-r)

になると考えたのですが答えは全く違っていました。

根本的に考え方が間違っていると思うのですが、どこが悪いのか分かりません。
どなたか詳しく教えていただけますでしょうか。

問題と答えは↓にあります（一番最後の問題です）
http://www.kwansei.ac.jp/hs/z90010/sugakua/suuretu/touhisum/touhisum.htm

よろしくお願いします。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

＞最初の(n-1)が初項の等比数列だと思っていましたが、
＞これは、定数ではないので等比数列ではないと言う考えで良いのでしょうか？

　等比数列というのは、隣り合う項の比が一定（ｎによらない）だと言うことです。

　ここで具体的にその比を計算してみます。

a_n/a_(n-1) ={(n-1)r^(n-1)}/[(n-2)r^(n-2) =(n-1)/(n-2) r

　すると、隣り合う項の比にｎが含まれ、一定ではありません。
　従って、数列{an}は等比数列ではありません。

　解法については、質問に貼られた問題サイトに良い解説が掲載されていますね。

お礼

丁寧にありがとうございました。

私は数列を浅く理解していたようです、今回の件で多少理解が深まったと思います。

回答No.2

spring135

Sn=r+2r^2+....nr^n
rSn=r^2+2r^3+...nr^(n+1)
Sn-rSn=r+r^2+...r^n-nr^(n+1)
=r(1-r^n)/(1-r)-nr^n
∴
Sn=r(1-r^n)/(1-r)^2-nr^n/(1-r)
整理して
Sn=r(nr^(n+1)-(n+1)r^n+1)/(1-r)^2

回答No.1

Tacosan

an = (n-1)r^(n-1) は等比数列じゃないことに気付いてます?

補足

an = (n-1)r^(n-1)は等比数列だと思ってました。

最初の(n-1)が初項の等比数列だと思っていましたが、
これは、定数ではないので等比数列ではないと言う考えで良いのでしょうか？