等差数列｛ａｎ｝の初項から第ｎ項まてまの和をSnと

質問

等差数列｛ａｎ｝の初項から第ｎ項まてまの和をSnとする。Ｓ10＝100、S20＝400であるとき、Snを求めよ。

という問題で、
なぜSn＝100であるから
1/2・10（2a＋9d）＝10
という式が出てくるのかわかりません(>_<)

どなたか理由を教えてください…

回答No.1

Willyt · ベストアンサー

初項をａ、公差を d とします。　すると　Ｓｎ＝ｎ{2ａ +(n-1)d}/2　となります。

これに n=10 を代入すると1/2・10（2a＋9d）＝10　となるのですが、これは

等差級数を逆にならべたものと順にならべたものを加えると

２Ｓｎ＝２ａ＋（ｎ－１）ｄがｎ個　となりますね。だから　Ｓｎ＝ｎ{2ａ +(n-1)d}/2　が成り立つのです。

下記で確かめて下さい。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97

お礼

確かめさせていただきました。
お陰様でわかりましたo(^▽^)o
ありがとうございましたm(_ _)m

回答No.3

entap

・等差数列の和の公式について

1+2+3+4+5+6+7+8+9*10
= (1+10) + (2+9) + (3+8) + (4 +7) + ( 6+5)
= (11) * 5
= 55
という発想があります。
つまり、
An = a1+d(n-1)　である時、
Sn = a1 + {a1+d} + {a1 + 2d} + {a1 + 3d} +　…　+ {a1 + d(n-1)
ですから、
Sn = [a1 + a1 + {d(n-1)}} * n * 1/2

とおけます。

だから、Sn = n・a1 + n(d(n-1)) * 1/2
になるのでしたね。

・今回の問題について

今回は、S10 = 100、S20=400ですから、上式に具体的な数を代入して
100 = 10・a1 + 10・9d
400 = 20・a1 + 20・19d
としてやれば、a1、dの値が求まります。

このように、導き出した公式を応用していきます。

お礼

先生もそんな事を言っていたのをお陰様で思い出す事が出来ました(o^^o)
本当にありがとうございましたm(_ _)m

回答No.2

ferien

なぜSn＝100であるから
1/2・10（2a＋9d）＝10
＞という式が出てくるのかわかりません(>_<)

等差数列の和の公式
Ｓn＝（１／２）ｎ｛２ａ＋（ｎ－１）ｄ｝より、
Ｓ10＝（１／２）・１０・｛２ａ＋（１０－１）ｄ｝＝１００より、
（１／２）・（２ａ＋９ｄ）＝１０

ではないですか？

お礼

そうでした（汗）
わざわざありがとうございましたm(_ _)m