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等差数列
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boku115さん、こんにちは。 >第7項が49、第16項がー5となる等差数列〔an〕の初項を求めるのはわかるのですが、この初項から第n項までの和Snが最大となるときのnの値、および最大値Snを求める方法がわかりません。 等差数列なので、 a[n]=a[1]+(n-1)d ですよね?a[1]:初項、d:公比です。 第n項までの和は、 S[n]=a[1]+a[2]+・・・+a[n] =a[1]+(a[1]+d)+(a[1]+2d)+(a[1]+3d)+・・・{a[1]+(n-1)d} =n*a[1]+{a+2+3+・・・(n-1)}d =n*a[1]+{(n-1)n/2}d =(1/2){2a[1]+(n-1)nd}・・・(★) ということになると思います(公式ですよね) ここで、まずa[1]とdを求めないといけないのですが、 a[7]=a[1]+6d=49 a[16]=a[1]+15d=-5 ----------------- -9d=54 d=-6 a[1]=49-6(-6)=49+36=85 ということになるので、初項85、項比ー6の等差数列となるでしょうか。 項比がマイナスなので、初項が最も大きく、どんどん小さくなっている数列なんだな、と分かると思います。 一般的な第n項までの和の公式(★)にあてはめて、 nについての2次式にして、最大となるnを求めたらいいですよ。 >Snの最大値とan>=0とはどんな関係があるのでしょうか? 初項が85で、公比がー6と、どんどん減っていくので、 a[n]≧0 の部分しか足したらだめですよね? というか、 a[k]>0,a[k+1]<0 となってしまうkは必ず存在しますが、ここでa[k+1]まで足しちゃうと a[k]まで足したものよりは、マイナスのものを足すので絶対小さくなってしまいますよね? だから、項がマイナスでない部分しか足せないんですよね。 ちょっと考えてみてくださいね。ご参考になればうれしいです。
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- stone_wash
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もう公式とか覚えてないから解かないけど、解法なら頭にうかびますw まず、 第7項⇒正 第16項⇒負 ということより、a[n]はだんだん減少してく数列ということがわかります。 即ち、はじめは正でも、ある程度すすむと負になるといことです。 では、S[n]とはなんなのだろかと考えます。 S[n]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+…+a[n] 正------0-----負 ですよね? したがって、S[n]が最大をとるのは、正のa[n]しか足してないときです。 ですから、a[n]≧0という式(実際はnの方程式)を解いて、a[n]の正から負に切り替わる地点を知るのです。
- 1985blueeye
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NO1です。 >Snの最大値とan>=0とはどんな関係があるか 例えば、a1=3,d=-1の等差数列だと、 an=-n+4となり、第一項から順に書き出すと 3、2、1、0、-1、-2・・・となります。 和Snが最大になるのは3+2+1(+O)のとき。 -1までたすと、和は最大にならないでしょ!? だからSnが最大値になる=an>=0になるんですよ(^O^) わかりにくかったらごめんなさい<(_ _)>
- 1985blueeye
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この問題が参考になると思いますよ★
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