等比数列の初項から第ｎ項までの和の証明

質問

【初項a、公比ｒの等比数列の初項から第ｎ項までの和をSnとするとき
Sｎ＝ｒ－１分のa(ｒ^ｎ－１)となることを証明せよ。】
という問題で、
Sｎ＝a＋ar＋ar^2＋ar^3＋・・・・・・・・＋ar^n-1 ～(1)
(1)の両辺をｒ倍して
rSn＝ar＋ar^2＋ar^3＋ar^4＋・・・・・・・・＋ar^n　～(2)

(2)－(1)　((1)－(2)?)
を計算すると真ん中の方が消えて最初と最後だけ残って・・・
という解法が一般的だと思うのですが
どうもイメージが湧きません;
どうしてずらして引いて残った最初と最後だけを計算すると
初項から第ｎ項までの和が求まるのでしょうか？？
イメージしやすく、分り易く説明していただけると
非常にありがたいです！
よろしくお願いします！

回答No.4

Quattro99

等比数列だからです。
等比数列ですから、ある項に公比をかけたら次の項になります。
数列の全ての項にそれぞれ公比をかけると、それぞれの項が次の項になります。ですから、「かける前の数列」と「かけたあとの数列」を見比べると、「かける前の数列の最初の項」と「かけたあとの数列の最後の項」以外の項はどちらの数列にも存在することになります。ですから、引き算をすればその2つの項以外は消えてしまうということです。
数式でやっていることを言葉にしただけですけど。

お礼

参考になりました^^
ありがとうございます。

回答No.3

ichiro-hot

●＃２です。追加。　因数分解とも関係つけられるよ。
ｘ＾２－１＝（ｘ－１）（ｘ＋１）
　∴ｘ＋１＝（ｘ＾２－１）/（ｘ－１）

ｘ＾３－１＝（ｘ－１）（ｘ＾２＋ｘ＋１）
　∴ｘ＾２＋ｘ＋１＝（ｘ＾３－１）/（ｘ－１）

ｘ＾４－１＝（ｘ－１）（ｘ＾３＋ｘ＾２＋ｘ＋１）
　∴ｘ＾３＋ｘ＾２＋ｘ＋１＝（ｘ＾４－１）/（ｘ－１）

一般化して，
　ｘ＾（ｎ）－１＝（ｘ－１）（ｘ＾（ｎ－１）＋ｘ＾（ｎ－２）＋・・・・＋ｘ＾２＋ｘ＋１）
　∴ｘ＾（ｎ－１）＋ｘ＾（ｎ－２）＋・・・・＋ｘ＾２＋ｘ＋１＝（ｘ＾ｎ－１）/（ｘ－１）

　ｘ＾（ｎ－１）＋ｘ＾（ｎ－２）＋・・・・＋ｘ＾２＋ｘ＋１を逆に見ると
　１＋ｘ＋ｘ＾２＋・・・＋ｘ＾（ｎ－２）＋ｘ＾（ｎ－１）＝（ｘ＾ｎ－１）/（ｘ－１）
となってて、左辺は初項１，等比ｘの級数になってる。

　これを全部a倍すれば公式が得られる。
　a＋a・ｘ＋a・ｘ＾２＋・・・＋a・ｘ＾（ｎ－１）＝a・（ｘ＾ｎ－１）/（ｘ－１）

回答No.2

ichiro-hot

計算を『見てわかりやすく』書くだけです。
rSn　＝　　　ar＋ar^2＋ar^3＋＋・・・・・・（＋ar^n-1）＋ar^n
このように（　　）の項を書き足すとわかりやすいかな。
　　　rSn　＝　　　ar＋ar^2＋ar^3＋＋・・・・・・＋ar^n-1＋ar^n　
－）　Sｎ　＝　a＋ar＋ar^2＋ar^3＋・・・・・・・・＋ar^n-1 　　　　
　-------------------------------------------------------
ｒSｎ－Sn＝－a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋ar^n　
　上下をきれいにそろえて書いてみましょう。上と下が同じものはどんどん消えていくのでこのようになりますね。後は，整理するだけです。
　（ｒ－１）Sｎ＝a(r^n－１）　
　Sｎ＝a(r^n－１）/（ｒ－１）

お礼

どんどん消えて整理すると和になる。
というのがいまいちイメージわかなかったんですよね。

因数分解とも関係があるんですね！
知らなかったです！
ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

>どうもイメージが湧きません;

具体的に n = 10 くらいの場合をノートに書き出せばよいだけだと思います。

お礼

書き出してみました。
なんとなくイメージできるようになりました^^
ありがとうございます。