等比数列の和の公式について

質問

(※、「＾」は累乗の記号とする。）
初項：a、公比：r、初項から第n項までの和：S、の等比数列において、
S(1-r)=a(1-r^n)　の時、
rが1ならば、S=na・・・(1)
rが1でない時、S=a*{(1-r^n)/(1-r)}=a*{(r^n-1)/(r-1)}・・・(2)
の、(2)がなんで成り立つのか分かりません。
{(1-r^n)/(1-r)}={(r^n-1)/(r-1)}ってなんか計算の公式なんでしたっけ？古のことなので計算の仕方を忘れてしまった。どうして両辺が=になるのでしょうか？

回答No.2

kabotya636 · ベストアンサー

Ｓｎ＝ａ１+ａ１ｒ+ａ1ｒ＾2+・・・+a1r^(n-2)+a1r^(n-1)
＝a1(1+r+r^2+r^3+..........+r^(n－2)+r^(n－1)}..........(1)
r^n-1=（ｒ-1）*｛ｒ＾（ｎ-1）+ｒ＾（ｎ-2）+...r^2+r+1}......(2)

(1),(2)よりｒ＾ｎ-1/r-1＝Ｓｎ／ａ１
よって

Ｓｎ＝ａ１*（１-ｒ＾ｎ）／（１-ｒ)
となります。

お礼

ありがとうございます。この考え方がほしかったのです。

回答No.3

arrysthmia

難しい理由を探すよりも、
a(1-r^n)/(1-r) - a(1-r^(n-1))/(1-r)
を計算して納得しましょう。
それ以上のものでは、ありません。

お礼

ありがとうございます。納得しました。

回答No.1

info22

> {(1-r^n)/(1-r)}={(r^n-1)/(r-1)}
中学生でも分かる単なる式の変形です。
分子、分母
それぞれに「-1」をかけて前の項と後ろの項を入れ替えただけ。

お礼

ありがとうございます。中学生の時につまずいたままだったものですから。