13579x-97531y=kでx^2+y^2 が

質問

x,y は整数で，13579x-97531y=k (定数)を満たしている．x^2+y^2 が最小になるとき，
1222x-8777y=1
であった．k の値を求めよ．
(答)k=6, 7, 8, …,16

前回、
http://okwave.jp/qa/q6703065.html
で似たような問題

x,y は整数で，13x-31y=k (定数)を満たしている．x^2+y^2 が最小となるとき，5x-12y=1 であった．k の値を求めよ．
(答)k=2, 3

をしましたので、それと同様に、
13579x-97531y=k (定数)の解を
x=97531t+8777k, y=13579t+1222k (tは整数)
として、x^2+y^2にあてはめれば今回も解けると思うのですが、今回の問題では係数が大きいので、何か特別な方法があるようなきがします。
問題形式も似ているということは、問題自体にもなんらかの目的があるような気がします。
それが分かる方はどうか教えていただけないでしょうか。

回答No.1

mister_moonlight

係数が大きいからと言って、驚く事はない。
数学の基本的な考え方の一つである、より簡単なものに還元するという方法に帰ると良い。

13579(x-7y)-(2478y)＝k と変形できる。
x-7y＝a とすると、13579a-2478y＝2478(-y+5a)-889y＝k。
-y+5a＝b　とすると、2478(-y+5a)-889y＝889(3b-y)-189b＝k
3b-y＝c とすると、889(3b-y)-189b＝189(4c-b)-133c＝k
4c-b＝d とすれば、189(4c-b)-133c＝133(d-c)+56d＝k
d-c＝eとすれば、133e+56d＝56(d+2e)+21e＝k
d+2e＝fとすれば、56f+21e＝21(e+5f)-4f＝k
e+5f＝gとすれば、21(e+5f)-4f＝21g-4f＝k　となり、gとfの特別解はすぐわかる。
そうすれば、当然一般解もわかるから、後は　e→　d→ と上向すれば　答えは簡単に出る。

続きは、時分でやって。

お礼

ありがとうございます。

でもそれは不定方程式の解を求めただけだと思います。