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数学IA 教えてください。

見ていただき、ありがとうございます。 数学についてわからない問題があるので、解き方と答えを教えてください。 2次方程式 x^2-kx+4k+6=0(kは定数)がある。 2次方程式の異なる2つの解α,β(α<β)がともに整数となるようなkの値をすべて記せ。kの値に対応するα,βの値もあわせて記すこと。 2つの解がともに実数ならkの値は出せるのですが、整数の場合が分かりません。 よろしくお願いします。

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回答No.2

判別式=k^2 -16k-24>0はもちろんですが,これが(整数)^2 になっていないといけない。 N整数として,k^2 -16k-24=N^2 (k-8)^2-88=N^2 (k-8+N)(k-8-N)=88 は定番の変形。 k-8+N, k-8+N 整数ですからN>0として (k-8+N , k-8-N )=(88,1), (44,2), (22,4), (11,8), (-1,-88), (-2,-22), (-4,-22), (-8,-11) のいずれか。全部,方程式を解くのにそんなに手間はかかりません。 k=31,21,-15,-5 kが分かれば方程式が確定しますから,解はすぐ出ます。

clclclack
質問者

お礼

すごい! 出来ました! わかりました! ありがとうございます!! 試験の過去問を解いていたのですが、解説も解答もなくて困っていたんです。 丁寧でとてもわかりやすかったです! ありがとうございました。

その他の回答 (2)

回答No.3

もっと簡単にやろうよ。 解と係数から α+β=k、αβ=4k+6。 よって、αβ=4(α+β)+6。これを整数の積の形にもっていく。 (α-4)*(β-4)=22。 22=22×1、11×2 。α<βより α-4<β-4 だから (α-4、β-4)=(1、22)、(2、11)、(-22、-1)、(-11、-2)の4つ。 ここまで来れば、続きは自分でできるだろう。

clclclack
質問者

お礼

なるほど!!ありがとうございます。 NO.2の方は、IAの範囲で解ける解き方を教えてくださったんだと思います。 でも、mister_moonlightさんの解き方も、わかりやすくて、私でもすぐ解けました! 丁寧な解説ありがとうございます!!

noname#149500
noname#149500
回答No.1

x=4の時x^2-kx+4k+6=x^2+6>0だからx≠4としkについて方程式を解くと k=(x^2+6)/(x-4)。 割り算で k=(xの1次式)+(整数/(xの1次式))の形にする。 αとβが整数なら解と係数の関係からkは整数。 というわけで、x=α、βの時第2項の分子が分母で割り切れるように、αとβを決める。

clclclack
質問者

お礼

ありがとうございます! k=(x+4)+(22/x-4)まではできました。 kが整数であることも理解しています。 次に、実際にkはどう求めるのか、また、「というわけで~」がよくわかりません; ものわかりが悪くて申し訳ありません。(>_<) 詳しくお願いします。 また、この解き方はIIBの範囲が混ざっているので、IAの範囲で解ける違う解き方があるはずなのですが、教えていただければ嬉しいです。

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