数学の問題

質問

次の問題の解き方を教えてください

kを実数とし、xの２次方程式 x^2＋kx＋3/4＝0の解をα、βとする

α^2－β^2＝2のとき、定数kとα、βの値を求めよ

解答
k＝-2のとき、α＝3/2　β＝1/2 k＝２のとき、α＝-3/2 β＝-1/2

回答No.2

masssyu · ベストアンサー

解と係数の関係より

ax^2+bx+c=0 の解をα、βとするとき

α+β＝-b/a　
αβ＝c/a

これより

α+β＝-ｋ
αβ＝3/4

ここで、

（α-β）^2=α^2-2αβ+β^2=(α+β)^2-4αβ=k^2-3

α^2-β^2=2 より　両辺を2乗して整理すると
(α+β)^2(α-β)^2=4
k^2(k^2-3)=4

k^2=X とする

X^2-3X-4=0
(X+1)(X-4)=0
X=k^2=-1,4
k=i,±2

ここでｋは実数なので
k=-2,2

それぞれを α+β＝-ｋ、α^2-β^2=(α+β)(α-β)=2 に代入して

k=-2のとき
α+β＝2
α-β＝1
α＝3/2　β＝1/2

k=2のとき
α+β＝-2
α-β＝-1
α＝-3/2　β＝-1/2

お礼

とても分かりやすかったです
ありがとうございます

回答No.3

mister_moonlight

この問題は、教科書にはないだろう。
＃1は、いつもアホな事を書き込んでる奴だから、気にしないで無視しよう。

解と係数から、α＋β＝-k、αβ＝3/4‥‥(1)
α^2－β^2＝(α＋β)*(α-β)＝(-k)*(α-β)だから　α-β　の値を求める事になる。
それには、次の恒等式を使えと簡単に行く。
(α-β)＾2＝(α＋β)＾2-4αβ＝(1)を使うと＝k＾2-3　だから　±k√(k＾2-3)＝2。
これを2乗すると　(k＾2-4)*(k＾2+1)＝0。k＾2+1＞0より　k＾2-4＝0.
ところが、この2次方程式の(問題文には　書いてないが)解は、実数解だから　判別式≧0.
結果は　k＾2-3≧0だから　k＝±2.

ここまで来れば、続きは自分でできるだろう。

お礼

回答ありがとうございます
♯2の方と違う解き方もわかったのでよかったです

回答No.1

riteway

教科書を読め。