「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

質問

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

回答No.1

noname#231526 · ベストアンサー

（１）Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか？
　（２）a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
　それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか？

お礼

有難うございます。
お陰さまで上手くいきました。

回答No.3

mirage70

[問2]について、
x=1-yとおくことによって、yの任意の値に対してxが決まる
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0に代入する。
yの２次式になりますので、Ay^2+By+C=0の形にします。
yの値にかかわらず、常に成立することから、A=B=C=0
そして、a,b,cを求めればよいです。

お礼

有難うございます。
お陰さまで上手くいきました。

回答No.2

proto

(1)について
まず計算しやすいように
　(5x+3)^10=Σ[k=0～10]{C[10,p]*(5x)^k*3^(10-k)}
と書くと
x^pの係数 : C{10,p]*5^p*3^(10-p)
x^(p+1)の係数 : C[10,p+1]*5^(p+1)*3^(9-p)
と表されます
(x^pの係数)/(x^(p+1)の係数)=21/20より
C[p,r]=(p!)/{(r!)(p-r!)}
を使って整理すると
　{3(p+1)}/{5(10-p)}=21/20
　4p+4=70-7p
　p=6

＞(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]
二項展開の式が間違っているようですね

お礼

有難うございます。
お陰さまで上手くいきました。