p:X→Yを商写像とせよ。もし各p^-1({y})が連結でYが連結ならばXは連結

質問

p:X→Yを商写像とせよ。もし各p^-1({y})が連結でYが連結ならばXは連結である。

の問題です。

XとYの位相をそれぞれTとSとするとpは商写像だと言うのだからpは全射で
s∈S⇔p^-1(s)∈T
と書け、
各p^-1({y})が連結だからp^-1({y})の位相として相対位相T_(y):={p^-1({y})∩t;t∈T}が採れ,
φ≠∀A,B∈T_(y),p^-1({y})=A∪BならばA∩B≠φ
Yが連結だからφ≠∀A,B∈S,Y=A∪BならばA∩B≠φ

でこれらからφ≠∀A,B∈T,X=A∪BならばA∩B≠φ

を示したいのですがφ≠∀A,B∈Tに対して
A∩B⊂p^-1(p(A∩B))
とからどうすればいいのかわかりません。

また,仮にφ≠∃A,B∈T,X=A∪BでA∩B=φと結論を否定してみると
B=A^cで開集合の定義からBは閉集合でB∈Tに反する。
となりましたがそんなに簡単じゃありませんよね。

どうかご教示ください。

回答No.2

muturajcp

p:X→Yを商写像。もし各p^{-1}({y})が連結でYが連結ならばXは連結の証明

Xが連結ではないと仮定すると、X=A∪B、A∩B=φ、A≠φ、B≠φ、
Aは開、Bは開、となる　A,Bが存在して、Y=p(A)∪p(B)　となる
p(A)∩p(B)=φ　を仮定し
　A'=p^{-1}(p(A))、B'=p^{-1}(p(B))　とすると、
　　X=A'∪B'　となる
　　A⊂A'　＆　X-A=B⊂B'⊂X-A'　→　A=A'　→　A'は開　→　p(A)は開
　　B⊂B'　＆　X-B=A⊂A'⊂X-B'　→　B=B'　→　B'は開　→　p(B)は開
　 →　Yは連結でない、矛盾だから
p(A)∩p(B)≠φ
　y∈p(A)∩p(B) があるから　y=p(a)=p(b)　、　a∈A　、　b∈B　がある
p^{-1}({y})=(A∩p^{-1}({y}))∪(B∩p^{-1}({y}))
(A∩p^{-1}({y}))∩(B∩p^{-1}({y}))=φ
A∩p^{-1}({y})　と　B∩p^{-1}({y})　は　p^{-1}({y})　で　開
a∈A∩p^{-1}({y})≠φ　＆　b∈B∩p^{-1}({y})≠φ
p^{-1}({y})　は連結でないから矛盾
よって　X　は連結

回答No.1

ojisan7

考え方のおおまかな流れは、

Xが連結ではないと仮定すると、X=A∪B、A∩B＝φとなる、
空でない、A,B∈Tが存在します。

A'=p(A),B'=p(B)とすると、A',B'∈Sとなりますが、このA',B'は
Y=A'∪B'、A'∩B'＝φ
を満たします。

つまり、Yが連結ではないことになり矛盾します。

お礼

ありがとうございます。

> Xが連結ではないと仮定すると、X=A∪B、A∩B＝φとなる、
> 空でない、A,B∈Tが存在します。
> A'=p(A),B'=p(B)とすると、A',B'∈Sとなりますが、

これは何故いえるのですか?
商写像の定義はpは全射でp^-1(s)∈T⇔s∈Sですよね。
もしかしたらA,BはT＼p^-1(S)の元かもしれませんよね?
その場合はA',B'∈Sとは言えないかもしれませんよね?

> このA',B'は
> Y=A'∪B'、A'∩B'＝φ
> を満たします。
> つまり、Yが連結ではないことになり矛盾します。

A',B'∈Sがいえれば
P(A)∪P(B)=P(A∪B)=P(X)=Y(∵pは全射)。
A∩B≠φよりφ≠P(A∩B)⊂P(A)∩P(B)

で矛盾ですね。