連続写像r:X→Aならrは商写像となる事を示せ

質問

下記の問題で質問です。

(1) Let p:X→Y be a continuous map. Show that if there is a continuous map f:X→Y such that pf equals the identity map of Y,then p is a quotient map.
(2) If A⊂X,a retraction of X onto A is a continuous map r:X→A such that r(a)=a for each a∈A. Show that a retraction is a quotient map.

(1) p:X→Yを連続写像とせよ。もし合成写像pfがYの恒等写像になるような連続写像f:Y→Xが存在するならpは商写像である事を示せ。
(2) もしA⊂XならXからAへの上へのretraction(引き込み,左逆写像)は∀a∈Aに対してr(a)=aとなる連続写像r:X→Aならrは商写像となる事を示せ。

(1)については
f=p^-1の関係になっていてpもp^-1も連続で全単射と言ってあるのだから
∀p^-1(s)∈T(TはXの位相)⇔s∈S(SはYの位相)が言えるから
pは商写像。

で正解でしょうか?

(2)については
引き込みの定義はf:X→YでB⊂YでBがf(X)の部分集合でない時の逆像f^-1(B)をfによるBの引き戻しとか言ったりするのだと思います。
rはontoと言っているので全射と分かる。
Aの位相として相対位相T_a:={A∩t∈2^X;t∈T} (但しTはXの位相)が取れる。
そこでr^-1(s)∈T⇔s∈T_aを示す。
s∈T_a⇒r^-1(s)∈Tはrが連続である事から直ちに言える。
r^-1(s)∈T⇒s∈T_aである事は
r^-1(s)∈T…(2)を採るとs=r(r^-1(s))(∵rは全射)=r^-1(s) (もしr^-1(s)⊂Aなら) …(3) (∵rの定義)
∈T_a (∵(2),(3)と相対位相の定義)
しかしr^-1(s)がAに含まれていない場合はこのsは何ともいえません。
どうすればこの場合もs∈T_aが導けますでしょうか?

回答No.6

ojisan7 · ベストアンサー

これで最後の回答にします。

すみません。勘違いしていました。すでに位相の定義されている空間に、さらに商位相を導入しようとしていました。No5の回答はすべて撤回します。

>「pは商写像⇔pは全射, 且つ, (p^-1(s)∈T⇔s∈S(但しTとSは
それぞれXとYの位相))」ではないんですか?

すみません。それであっています。

>「A retraction is a continuous map of a space onto a subspace
leaving each point of the subspace fixed」
>「retractionは部分集合の各点を固定するような、その部分集合
上への連続写像です。」

部分集合と書いてしまいましたが、部分空間ですね。改めて、もう一度書くと、
「retractionは部分空間の各点を固定するような、空間からその部分空間上への連続写像です。」
ということですが、もっとわかりやすく言えば、Xを位相空間とし、A⊂Xを部分空間としたとき、連続写像、
r:X→Aがあって、任意のa∈Aに対して、r(a)=aとなるとき、ｒをretractionといいます。
「固定」というのはr(a)=aということです。

お詫びの意味で、以下に改めて、（１）、（２）のヒントを記します。

（１）pf=id_Yですから、pが全射になることは分かりますね。

ｐは連続ですから、U∈S⇒p^(-1)(U)∈T　となります。逆に、
p^(-1)(U)∈Tとすると、ｆは連続ですから、
f^(-1){p^(-1)(U)}=Vとすると、V∈Sとなります。
また、f^(-1){p^(-1)(U)}=Vより、
U=pf(V)　となります。
pf=id_Yですから、
U=pf(V)=id_Y(V)=V∈S
これでU∈Sが示せました。

（２）については、（１）の性質を使えば明らかです。
r:X→Aは連続で、r^(1):X→Aも連続です。
rをｐ、r^(-1)をｆと読み替えれば（１）と同様ですね。

以上です。m(_ _)m

お礼

ありがとうございます。
おかげさまで上手くいきました。

回答No.5

ojisan7

>s∈S⇒p^-1(s)∈Tは言えてる訳ですね。

連続ということはそういうことですね。しかし、
ここで要請されていることは、ｐが連続となる
位相のうち、もっとも強い位相（商位相）をY
に導入できるかということです。

>,p^-1(s)∈T⇒s∈Sは示さなくていいのでしょうか?

どうして、それを示す必要があるんでしょうか。
「pは商写像　⇔　pは全射且つp^-1(s)∈T⇔s∈S」
これは違います。定義を記号ではなく、言葉で理解し
ていますか？

>「A retraction is a continuous map of a space onto a subspace
leaving each point of the subspace fixed」

これは、
「retractionは部分集合の各点を固定するような、その部分集合
上への連続写像です。」
という意味です。

>ん?相対位相とは(X,T)を位相空間,A⊂Xとする時,{A∩t∈2^X;t∈T}
を相対位相とか言うのではないですかね?

そうです。でも、少し言葉が足りなかったようですね。部分位相空間A⊂Xの
Xに対する相対位相というのは、i(x)=xとなる単射i：A→Xから誘導さ
れる位相をいうのです。ですから、Xの開集合の逆像が相対位相による
開集合であると定義します。これは、質問者さんが書いた定義と一致します。

>> （２）はB⊂AとなるBについて、r^-1(B)=Bですから
これは何故ですか?

これについては、No4でも述べたように、私のミスです。

>s⊂Aかつs∈Tだとしてもrは単射か分からないのでr^-1(s)=sとは言えず
r^-1(s)∈Tは言えません。

問題文で、ｒは連続写像だと言っていますので、ｓ⊂Aが位相空間Xの開集合
ならば、r^-1(s)は開集合です。しかし、商位相はさらに強い位相です。ｓ⊂A
が位相空間Xの開集合でなくても、r^-1(s)がXの開集合であれば、ｓを商位相
の開集合であるというのです。

お礼

>>「A retraction is a continuous map of a space onto a subspace
> leaving each point of the subspace fixed」
> これは、
> 「retractionは部分集合の各点を固定するような、その部分集合
> 上への連続写像です。」
> という意味です。

すいません。よく分かりません。
写像が像の点を固定するのは当たり前だと思うのですが
r({a})が一点集合でなければもはや写像ではありませんよね。
ただの非全単射な写像(中への写像?)という風にしか聞こえませんが,
「部分集合の各点を固定するような」ってどんなイメージなのでしょうか?
すいません。

> 問題文で、ｒは連続写像だと言っていますので、ｓ⊂Aが位相空間Xの開集合
> ならば、r^-1(s)は開集合です。しかし、商位相はさらに強い位相です。ｓ⊂A
> が位相空間Xの開集合でなくても、r^-1(s)がXの開集合であれば、ｓを商位相
> の開集合であるというのです。

纏めるとS:={s∈2^A;p^-1(s)∈T}はAで位相をなし,このSをTからのpによるAの商位相といい,
全射pが
p^-1(s)∈T⇔s∈S
をなしている時,pを商写像というのですね?

で問題文は「このrでAに商位相を導入したらrは商写像にもなっている事を示せ」という問題だったのですね。

補足

ご回答誠にありがとうございます。

> r^-1(B)⊃Bですよね。しかし、rは全射ですから、Aに商空間の
> 位相を導入することが常に可能です。

S:={s∈2^A;r^-1(s)∈T}というのがAでの商位相ですよね。
なのでr^-1(s)∈T⇒s∈Sがいえるのですね。

s∈S⇒r^-1(s)∈Tはrが連続である事から言えますね。

そしてrは全射だといっているのでrは商写像になるのですね。
これでいいのですね?

> 尚、商写像の定義はせっかく英文で正しく書かれているのに、なぜ、
> 「pは全射且つp^-1(s)∈T⇔s∈S(但しTとSはそれぞれXとYの位相)」
> という、わけのわからん解釈をしてしまうのでしょうか。

「pは商写像
⇔
pは全射, 且つ, (p^-1(s)∈T⇔s∈S(但しTとSはそれぞれXとYの位相))」

ではないんですか?

> それに、「相対位相」をなぜ持ち出すのでしょうか。

すいません。A⊂Xとなっていたのでつい部分位相空間を思い浮かべてしまいました。

> 商写像の英文の
> 定義の部分に位相の入れ方が書かれていますね。iffですよ。

iffは⇔の意味ではないんですか?
必要十分ですよね。

> p^-1(U)がXで開集合のとき、しかも、そのときに限って、UをYの開集
> 合と定義するのです。

難しいんですね。

回答No.4

ojisan7

No3です。ちょっと訂正します。No3で、
「B⊂AとなるBについて、r^-1(B)=Bですから」と書きましたが、
r^-1(B)⊃Bですよね。しかし、rは全射ですから、Aに商空間の
位相を導入することが常に可能です。

尚、商写像の定義はせっかく英文で正しく書かれているのに、なぜ、
「pは全射且つp^-1(s)∈T⇔s∈S(但しTとSはそれぞれXとYの位相)」
という、わけのわからん解釈をしてしまうのでしょうか。

それに、「相対位相」をなぜ持ち出すのでしょうか。商写像の英文の
定義の部分に位相の入れ方が書かれていますね。iffですよ。
p^-1(U)がXで開集合のとき、しかも、そのときに限って、UをYの開集
合と定義するのです。

回答No.3

ojisan7

No2です。質問者さんは、少し誤解されているようですので、念のためちょっと補足します。

商空間の位相は、部分空間の位相である相対位相とは違います。
開集合の逆像を開集合であると定義するのが相対位相ですが、
逆像が開集合である集合を開集合であると定義するのが商空間の
位相です。両者はよく似ていますが、全く別物です。
（１）はNo2でも述べたように、全射であることが言えますから、
商空間の位相を入れることが可能です。
（２）はB⊂AとなるBについて、r^-1(B)=BですからBが開集合で
あればよいわけです。つまり、AにふくまれるXの開集合が商空間
Aの開集合になるのです。相対位相は全く関係ありません。

お礼

> No2です。質問者さんは、少し誤解されているようですので、念のためちょっと補足します。

大変ありがとうございます。

> 商空間の位相は、部分空間の位相である相対位相とは違います。
> 開集合の逆像を開集合であると定義するのが相対位相ですが、

ん?相対位相とは(X,T)を位相空間,A⊂Xとする時,{A∩t∈2^X;t∈T}を相対位相とか言うのではないですかね?
何か商位相と似てますかね?

> 逆像が開集合である集合を開集合であると定義するのが商空間の
> 位相です。両者はよく似ていますが、全く別物です。

商位相はYを集合とし,f:X→Yを全射とする時,
{s∈2^Y;f^-1(s)∈T}を商位相といい,これを位相とする集合Yを商空間と言うのですよね?

> （２）はB⊂AとなるBについて、r^-1(B)=Bですから

これは何故ですか? rは単射とまでは言ってないのでr^-1(B)⊃Bとなるのではないでしょうか?

とりあえずやってみました。
このretraction rが商写像となる事はrはretractionの定義から全射が言えるので
あとはr^-1(s)∈T⇔s∈T_a:={A∩t∈2^X;t∈T}(T_aは相対位相)を示せばよい。
十分性はrが連続である事から言えるので必要性だけを示せばよい。
もしs⊂Aかつs∈Tだとしてもrは単射か分からないのでr^-1(s)=sとは言えずr^-1(s)∈Tは言えません。
なのでsがAに含まれない場合は尚更,r^-1(s)∈Tは言えません。
どうすれば示せますでしょうか?

補足

ご回答誠にありがとうございます。

>>（１）f=p^-1の関係になっていてpもp^-1も連続で全単射と言ってある
> f=p^-1であることはどうしてわかる？
> pもp^-1も連続で全単射であるとはどこで言ってありますか。

失礼いたしました。pfが恒等写像だからpfは全単射ですがpやfまでも全単射とは限らないですよね。
pもfも全単射でpf=idならf=p^-1と言えるのですね

> 商写像って何ですか。

商写像の定義ですが
「Let X and Y be topological spaces;let p:X→Y be a surjective map.The map p is said to be a quotient map provided a subset U of Y is open in Y if and only if p^-1(U) is open in X」

なので定義は

「pは商写像　⇔　pは全射且つp^-1(s)∈T⇔s∈S(但しTとSはそれぞれXとYの位相)」

と書けますよね。

> 実際は商空間を考えるべきでしょうが、要は、連続な全射であればよいわけ
> ですよね。連続であることは与えてありますので、

s∈S⇒p^-1(s)∈Tは言えてる訳ですね。

> 全射であることをいえばいいんじゃないかな。pが
> 全射であることはpf=id_Y　（fp=id_Xではない）より明らかですが、このことを証明しましょう。

pが全射である事はもしpが全射でないならY⊃pf(Y) (この⊃は真部分集合の意味)となってpfが恒等写像である事に反する。
よってpは全射。

あと,p^-1(s)∈T⇒s∈Sは示さなくていいのでしょうか?
これはどうすれば示せますでしょうか?

「A retraction is a continuous map of a space onto a subspace leaving each point of the subspace fixed」
leavingの意味がよく分かりませんでした。
「retractionとは固定されてた部分空間の各点をleaving?する位相空間から部分空間への上への連続写像」

> retractionの定義は、問題に既に与えてあります。よく、問題文を読んで下さい

retractionの定義は
「r:X→Aがretraction⇔A⊂Xでrは全射でr(a)=a(∀a∈A)」
でいいのですね。

回答No.2

ojisan7

>（１）f=p^-1の関係になっていてpもp^-1も連続で全単射と言ってある
f=p^-1であることはどうしてわかる？
pもp^-1も連続で全単射であるとはどこで言ってありますか。

商写像って何ですか。実際は商空間を考えるべきでしょうが、要は、連続な全射であればよいわけ
ですよね。連続であることは与えてありますので、全射であることをいえばいいんじゃないかな。pが
全射であることはpf=id_Y　（fp=id_Xではない）より明らかですが、このことを証明しましょう。

>引き込みの定義はf:X→YでB⊂YでBがf(X)の部分集合でない時の逆像f^-1(B)をfによるBの引き戻し
とか言ったりするのだと思います。

retractionの定義は、問題に既に与えてあります。よく、問題文を読んで下さい。（下記サイトを参照）

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/Retraction.html

回答No.1

koko_u_

>f=p^-1の関係になっていてpもp^-1も連続で全単射と言ってあるのだから
勝手に条件を追加しないように。

お礼

ありがとうございます。

> >f=p^-1の関係になっていてpもp^-1も連続で全単射と言ってあるのだから
> 勝手に条件を追加しないように。

pfが恒等写像だからpfは全単射ですがpやfまでも全単射とは限らないですよね。
pもfも全単射でpf=idならf=p^-1と言えるのですね。

商写像の定義ですが
「Let X and Y be topological spaces;let p:X→Y be a surjective map.The map p is said to be a quotient map provided a subset U of Y is open in Y if and only if p^-1(U) is open in X」

なので定義は

「pは商写像　⇔　pは全射且つp^-1(s)∈T⇔s∈S(但しTとSはそれぞれXとYの位相)」

と書けますよね。
pが全射である事はもしpが全射でないならY⊃pf(Y) (この⊃は真部分集合の意味)となってpfが恒等写像である事に反する。
よっとpは全射。
そしてpは連続と言ってあるのだからs∈S⇒p^-1(s)∈Tが成り立つ。
あと,商写像を言うために
p^-1(s)∈T⇒s∈Sを示さねばならないのですがこれはどうすればできますでしょうか?

そして(2)についててすがretractionの定義は
「r:X→Aがretraction⇔A⊂Xでrは全射でr(a)=a(∀a∈A)」
でいいのですね。

このretraction rが商写像となる事はrはretractionの定義から全射が言えるので
あとはr^-1(s)∈T⇔s∈T_a:={A∩t∈2^X;t∈T}(T_aは相対位相)を示せばよい。
十分性はrが連続である事から言えるので必要性だけを示せばよい。
もしs⊂Aかつs∈Tだとしてもrは単射か分からないのでr^-1(s)=sとは言えずr^-1(s)∈Tは言えません。
なのでsがAに含まれない場合は尚更,r^-1(s)∈Tは言えません。
どうすれば示せますでしょうか?