連結について
- 位相空間Xにおいて、Aを稠密な集合とするとき、商空間X/Aは連結であることを証明します。
- 商集合とは集合族ではありません。P(A)も集合族ではありません。
- P(A)は1つの同値類から成る集合族です。
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連結について
位相空間Xにおいて、Aを稠密な集合とするとき、商空間X/Aは連結であることを証明せよ。 （ただし x,y∈Xについて x～y⇔x＝y またはx,y∈Aとする。 P:X→X/～,射影 T＝｛H：HのPによる逆像がXの開集合｝ X/A＝（X/A,T）とする。 ） この問題の証明で分からないところがあるので教えて頂きたいと思います。 本の解答には 証明）P(A)＝yとする。{y}は連結で、かつX/Aで稠密。と書いてありました。 質問1.商集合というのは集合族ですよね？ 質問2.P(A)も集合族ではないのですか？ 質問3.P(A)は1つの同値類から成る集合族だと思うのですが、合ってますか？ あと、この問題の証明を解説してもらえると嬉しいです。 よろしくお願いします。
- shimane_
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・・・もうすこし考えた方がいいと思う． まず，この問題以前に あなたはこのX/Aの直観的な意味を理解してますか？ 理解してればこの質問はでてこないはずなんだけど． これはトポロジーなんかが頻出する空間の構成方法で よく「一点に縮める」とか「くっつける」と言われます． 例えば， (1) 閉区間[0,1]とその部分集合{0,1}に対して， [0,1]/{0,1} が何か絵でかけますか？ (2) 閉区間[0,1]とその部分集合{0,1/2,1}に対して， [0,1]/{0,1/2,1} が何か絵でかけますか？ >質問1.商集合というのは集合族ですよね？ 定義としてはそうだが，同値類の「ほとんど」が もとのものと変わらないので，集合族とみなすと 話がみえなくなる． >質問2.P(A)も集合族ではないのですか？ 違う．これは集合．集合族と集合の違いを理解すること． また商集合の定義も理解すること P(A)は商集合の一点にすぎないので 定義的には集合．しかしこれを一点とみなすのが この操作の本質 >質問3.P(A)は1つの同値類から成る集合族だと思うのですが、合ってますか？ 質問2と同様．定義をしっかり理解すること． 問題自体の証明はきちんと「連結」とか「稠密」の定義にもどること． X/A=U1∪U2，U1，U2は開集合でともに空集合ではない U1∩U2=空集合 としたときに矛盾となる これを示せばいいんだけ， 一点yはU1かU2のどっちかに入るんだけども {y}がX/Aで稠密だってのは，U1とU2のとり方と整合するかい？
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お礼
回答ありがとうございました。 もう少し考えてみたいと思います。