"x^2+y^2=(x+y)^2-2xy"???

質問

対称式についてどうしても納得できないことがあるのですが…。

基本対称式以外の対称式は全て基本対称式のみの式で表されるとのことですが、
その典型的な例である

x^2+y^2=(x+y)^2-2xyや

x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)というのは^3や3などの基本対称式以外の数字が入っていますよね？

これって基本対称式"のみの"式ではないんじゃないんですか？

例えば　x^2y+xy^2=xy(x+y)なら基本対称式"のみの"式で表されているよね、と言われても納得できるのですが、上記の二つはいまいち納得できません…。

これはもうそういうものだと割り切った方がいいのでしょうか？

回答No.3

akinomyoga · ベストアンサー

> 基本対称式以外の対称式は全て基本対称式のみの式で表される

というのは「**対称な変数が** 基本対称式のみに現れるようにできる」つまり「**対称な変数を** 基本対称式にまとめることができる」ということです。質問の例の場合は (x, y) が対称な変数で、x や y が x+y, xy 以外の組み合わせで登場しないように変形することができるという意味です。

ここで、あくまで **対称な変数** が議論の対象になっていることが重要です。対称な変数以外のものは当然、基本対称式にまとめることはできません。例えば
　f = (x+y)^3 / 3xy + α + 3β
という式を考えてみれば、これは (x,y) について対称、つまり (x, y) の交換について変化しません。つまり (x,y) の対称式です。しかしながら 中に登場する ^3 だとか 3 だとか α+3β だとか x, y と関係のない部分に関しては、当然 x+y, xy で表すことはできません。

あと、上記 f を考えればわかるように、対称式は必ずしも「基本対称式の多項式」にできるとは限りません。

お礼

なるほど。"対称な変数"というのがポイントだったのですね。

疑問点が解決されました。ありがとうございました。

回答No.2

noname#212058

(x+y)^2、(x+y)^3、3xy が基本対象式ではない、という疑問でしょうか？
どれも
　(x+y)^3 = (x+y)(x+y)(x+y)
　3xy = xy + xy + xy
と、どれも『x+y または xy の式（＝基本対象式）』に変形できますよね？

x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy = (x+y)(x+y) - xy - xy
x^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y) = (x+y)(x+y)(x+y) - xy(x+y) - xy(x+y) - xy(x+y)

回答No.1

f272

「対称式は基本対称式の多項式として表される」と言われていれば納得するのだろうか？
基本対称式以外の数字が入っていますと言われても、もともとそういう定理なのです。