√x＋√y≦ｋ√(2x＋y)

質問

すべての実数x,yに対し　√x＋√y≦ｋ√(2x＋y)　が成り立つような実数kの最小値を求めよ。

必要条件から十分条件であることを証明しようと思ったのですが。

√x＋√y≦ｋ√(2x＋y)はすべての正の実数x，yで成り立つので
x=4,y=1のときも成り立たなくてはいけない。
このとき
1≦kとなる。
これを満たす最小値のkは1である。

逆にk=1とすると
で、証明できません。k=1ではないのでしょうか。

回答No.3

keyguy

「すべての0以上実数x,yに対し　√x＋√y≦ｋ√(2x＋y)　が成り立つような最も小さい実数kを求めよ。」

(1)x=y=0のとき
kが任意の実数で与不等式は成立
(2)x=0かつ0<yのとき
1≦kで与不等式は成立
(3)0<xのとき
t=√(y/x)+1とすると1≦tであり
1/√(3/t^2-2/t+1)≦k
すなわち
1/√(3・(1/t-1/3)^2+2/3)≦k
従って√(3/2)≦kで与不等式は成立

よってkは√(3/2)以上で有れば十分である。
x=1かつy=4とすると与不等式は√(3/2)≦kとなるからkは√(3/2)以上である必要がある。

以上から最小のkは√(3/2)となる。

回答No.2

zetafunction

'95 東大 前期 1 番の問題ですね？

Chuchy-Schwarz's inequality (コーシー・シュワルツの不等式) を上手に使うと Elegant に解けますよ!!

回答No.1

winterofmeei

K=1では

ｘ＝１、ｙ＝１００のとき、この式を満たせないと思いますが……
k=1ではないのはあきらかです

お礼

なるほど。