√x+√y≦k√(2x+y)について

質問

「すべての正の実数x、yに対し√x+√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を求めよ」
という問題に対して、以下のような解答が示されていたのですが、それについてわからないところがあるので教えてください。

（解答）
y=4zとおくと、与不等式は
√x＋2√z≦k√2√(x+2z)
題意はこれが任意の正のx,zで成り立つことと同値

両辺を3で割って
(√x＋2√z)/3≦{k*√(2/3)√{(x+2z)/3}

ここで、y=√xのグラフが上に凸であることから
(√x＋2√z)/3≦{√(2/3)√{(x+2z)/3}が成立する

したがって
{√(2/3)√{(x+2z)/3}≦{k*√(2/3)√{(x+2z)/3}
をkが満たせば十分であるから
k≦√(3/2)

逆に、x=z=1の場合を考えることで
k≦√(3/2)が必要

よって求めるkの最小値は
√(3/2)
(終)

疑問点は2つです。
1.どのようにすればy=4zとおくという考えを思いつくことが出来るでしょうか。
2.必要性の証明で、x,zに代入する値が1であることをどうやってみつけたのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.2

quadlike · ベストアンサー

もっと簡単な解法がいろいろとある問題なのですが、その紹介は後にして、まず質問に答えることにします。

凹関数 f(x)＝√x について成り立つ不等式
　(1-t)√a＋t√b ≦ √((1-t)a＋tb)　　(0≦t≦1)
を利用して解きたいとします。両辺を(1-t)で割ると
　√a＋(t/(1-t))√b ≦ √(1/2(1-t)) × √(2a＋(2t/(1-t))b)
これと問題の不等式
　√x＋√y ≦ k√(2x＋y)
とを比較して
　a＝x、
　(t/(1-t))√b＝√y、(2t/(1-t))b＝y
　k＝√(1/2(1-t))
この連立方程式を解くと
　x＝a、y＝4b、t＝2/3、k＝√(3/2)
となります。こうおけば凹関数に関する不等式が使えることがわかります。これが y＝4z とおいた理由です。凹関数の不等式についての等号成立条件は a＝b＝1 なので、x＝z＝1 とおけばよいのもわかります。

上の解法は、入試では必須とは言えない凹関数の不等式をあらかじめ知っている必要があり、実用的ではありません。別解として以下のような解法があります。

（1）定数分離
両辺を√(2x＋y)で割り、定数である k を分離します。すると関数
　(√x＋√y)/(√(2x＋y))
の最大値を求める問題に帰着します。これは、t＝y/x と置いたり、一文字を固定したりして解けます。

（2）内積の利用
左辺が
　√x＋√y＝(1/√2)√(2x)＋√y
であることに気付けば、点A（1/√2，1）と点B（√(2x)，√y）について、OAベクトルとOBベクトルとの内積を考えて
　√x＋√y＝OA↑・OB↑＝|OA||OB|cos∠AOB ≦ |OA||OB|＝√(3/2) √(2x＋y)
となります。

（3）コーシー・シュワルツの不等式の利用
コーシー・シュワルツの不等式をあらかじめ知っていれば
　(√x＋√y)^2 ≦ ((1/√2)^2＋1^2)((√2x)^2＋(√y)^2)
両辺正なので平方根をとり
　√x＋√y ≦　√(3/2) √(2x＋y)
となります。

お礼

他の解答まで示してくださり、ありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

肝心な事を書き忘れている。

＞k＾2-1＝1の時は不適から、この不等式が常に成立するから、k＾2-1＞0　で　判別式≦0

これに補足。

f(m)＝(k＾2-1)m＾2-2m＋(2k＾2-1)　とすると　m＞0で　f(m)≧0であると良いから、k＞0だから　k＞1より、f(0)＝2k＾2-1＞1＞0だから　判別式≦0でよい。

2次関数が　m＞0の条件で　常に≧0であるための条件を求めているだけ。
m＞0で2次関数の頂点の座標を求めると直ぐわかるだろう。

回答No.3

mister_moonlight

何のために、こんな解法を示すのか。
凸関数を使わなければ解けないわけではないし、持ち出す知識はできるだけ簡単な方が良い。
こん模解は無視した方が良い。

文字は全て正から、両辺を2乗しても同値。左辺も右辺も正から、k＞0.
2乗して、√x＝α、√y＝βとすると、α＞0、β＞0　で　(2k＾2-1)α＾2-2αβ＋(k＾2-1)β＾2≧0
αとβは平等だから、β/α＝mとすると　α＞0、m＞0だから(途中の計算は省略)　(k＾2-1)m＾2-2m＋(2k＾2-1)≧0
k＾2-1＝1の時は不適から、この不等式が常に成立するから、k＾2-1＞0　で　判別式≦0
これを計算すると、模範解答の答えになる。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

spring135

なんか技巧的ですね。こんな解を入試で思いつくとは思いません。

もっとありきたりな解き方で十分です。

x,yが正であることから

k≧(√x+√y)/√(2x+y)

=(1+√y/x)/√(2+y/x)

(√xで分子分母を割る)

t=y/xとおくと

k≧(1+√t)/√(2+t)

つまり1変数に帰着します。

この先はたとえば微分が使えたら簡単です。

そうでない場合は別のことを考える必要があります。

お礼

ありがとうございました。