数Bの複素数の問題です。お願いします。

質問

２次方程式
x^2+(k-2)x+3k-8=0の一つの解が、他の解の平方であるとき、
定数kの値を求めよ。
という問題です。
一つの解をαとおくと、もう一方の解はα^2になりますよね？
解と係数の関係から導くと思うのですがどうやって解いていったらいいかわかりません。
答えはk=0 k=3です。

どなたか回答を宜しくお願いします。

回答No.3

good777 · ベストアンサー

***■［問題］■***************************************************
x^2+(k-2)x+3k-8=0の一つの解が、他の解の平方であるとき、
定数kの値を求めよ。
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解）
　　2つの解をα、β（＝α＾2）とおく。

　　　α＋β＝-ｋ+2
　　　αβ＝3ｋ-8

　　αβ＝3（2-α-β）-8
　　αβ＝-3α-3β-2
　　α＾3＋3α＾2＋3α+1＝-1
　　（α＋1）^3＝-1
　　よって、
　　α+1＝-1、－ω、-ω＾2 (ただし、ωは1の虚立方根）

　　α＝-2、-1－ω、-1-ω＾2
　　つまり、
　　α＝-2、ω＾2、ω　（なぜなら 1＋ω＋ω＾2＝0 だから）

　　このとき、α＾2 はそれぞれ
　　（-2）＾2＝4、
　　（ω＾2）＾2＝ω＾4＝ω
　　ω＾2

　 となる。よって、
　　　-ｋ+2＝α＋β＝-2＋4＝2　ｋ＝0
　　　-ｋ+2＝α＋β＝ω＾2＋ω＝-1　ｋ＝3
　　　-ｋ+2＝α＋β＝ω＋ω＾2＝-1　ｋ＝3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　■[答え]■　ｋ＝0、ｋ＝3

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回答No.2

sanpogo

α＋α^2＝-(k-2)・・・１
α・α^2＝3k-8 ・・・２
ここまでは良いですよね。
１を変形して
k=2-α-α^2・・・３
これを２に代入
α・α^2=3(2-α-α^2)-8
α^3+3α^2+3α+2=0
(α+2)(α^2+α+1)=0
α=-2,-1±√3i/2
それぞれを３に代入
α=-2のとき
k=2-(-2)-(-2)^2
=0
α=-1+√3i/2の時
k=2-(-1+√3i/2)-(-1+√3i/2)^2
=2-(-1+√3i/2)-(1-3-2√3i/4)
=2+(1+1＋√３－√３/2)
=2+1
=3
α=-1－√3i/2の時も結果は同じというか「±」これの逆が出なかった。

回答No.1

oshiete_goo

＞一つの解をαとおくと、もう一方の解はα^2になりますよね？
全くその通りですね．
すると，解と係数の関係より
α＋α^2＝-(k-2)
α・α^2＝3k-8
これをαとkの連立方程式とみてはドウでしょう．