絶対値を含む２次関数の問題

質問

kを定数とする。xの方程式|x^2+x-2|=x+kが実数解を持つとき
kの取りうる値の範囲を求めよ。
また、実数解をちょうど３つ持つときのkの値を求めよ

途中式と答えをお願いします。
解が３つのとき、の考え方がわからず詰まってしまいました。
よろしくお願いいたします

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

絶対値を含む方程式はグラフを描いて解いた方がミスなく、かつ簡単に解けると思うよ。
つまり
y=|x^2+x-1|(=|(x+2)(x-1)|)　...(1)
y=x+k ...(2)

(1)のグラフはy=(x+2)(x-1)のグラフの内、y<0(x軸の下)の部分だけy>0の方に折り返し（対称移動し）てやれば良いです。
単にそれだけで絶対値のついた関数のグラフが描けます。
(1)のグラフは添付図の黒実線のようになります。

(2)のグラフは傾き1でy切片がkのグラフです。
添付図の青実線の直線がそのグラフで、kを色々変えるとグラフが平行移動してy切片が変化します。そして(1)と(2)の交点数も変化します。

絶対値方程式の解は(1)と(2)のグラフの交点のx座標として得られます。また交点数が解の個数になります。

グラフより,k≧-1のとき２つのグラフの交点が存在するので、絶対値方程式が実数解をもつ条件は「k≧-1」となる。

次に、実数解を丁度3個もつのはグラフから
　グラフより　「k=2および3」の場合と分かる。
k=2の時、3個の実数解はx=0,±2
k=3の時、3個の実数解はx=-1(重解),±√5

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.1

asuncion

x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)ですから、
y = |x^2 + x - 2|のグラフは、y = x^2 + x - 2のグラフの
-2 ≦ x ≦ 1の部分を、x軸を対象に折り返したものとなります。
このグラフと、y = x + kという、傾きが1である直線との
共有点が3個存在するとき、直線のグラフのy切片kは
どういう範囲を取るでしょうか。
とりあえずグラフを書いてみてください。

お礼

回答ありがとうございました！