13x-31y=kでx^2+y^2が最小のとき

質問

x,y は整数で，
13x-31y=k (定数)
を満たしている．
x^2+y^2
が最小となるとき，
5x-12y=1
であった．k の値を求めよ．

(略解)
x=31t+12k, y=13t+5k (tは整数)　より，k=2, 3

(質問)
x=31t+12k, y=13t+5k (tは整数)　
はいいとして、
x^2+y^2=(31t+12k)^2+(13t+5k)^2
が最小となるとき，
5x-12y=1 ⇔ -t=1 ⇔ t=-1
ここからどうやってkを求めるのでしょうか。

また、図形的な解法もあるのでしょうか?

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

13x-31y=k
x^2+y^2が最小となるとき
5x-12y=1
だから
x=12k-31
y=5k-13
のときx^2+y^2が最小となるから
x^2+y^2≧(12k-31)^2+(5k-13)^2
↓
x^2+y^2=(31t+12k)^2+(13t+5k)^2≧(12k-31)^2+(5k-13)^2
↓
(31t)^2+2*31*12kt+(13t)^2+2*13*5kt≧(31)^2-2*31*12k+(13)^2-2*13*5k
↓
{565(t-1)+437k}(t+1)≧0

t=0のとき
k≧565/437>1.2

t=-2のとき
k≦1695/437<3.9

1.2<k<3.9
∴
k=2,3

お礼

ありがとうございます。

{565(t-1)+437k}(t+1)≧0
が任意のtで成り立つということですね。

回答No.1

noname#133363

(31t+12k)^2+(13t+5k)^2がt=-1で最小になるようにkを定めればいいんですよね。
(31t+12k)^2+(13t+5k)^2をtに関して平方完成して、
α(t-βk)^2+γ
みたいな形になりますから、βkに最も近い整数が-1になるようにkを決める。

図形的な解法、…うーん、分からない。

お礼

ありがとうございます。