a,bは定数とし、a>0とする。関数y=a(x^2+2x+3)^2-2a(x^2+2x+3)+bの-2≦x≦2における最大値は14、最小値は3である。

質問

a,bは定数とし、a>0とする。関数y=a(x^2+2x+3)^2-2a(x^2+2x+3)+bの-2≦x≦2における最大値は14、最小値は3であるとする。このとき、a,bの値を求めよ。 という問題で解法、解釈で分からない部分があります。
以下は解答に沿って自分なりに解釈した結果を書いています。
y=a(x^2+2x+3)^2-2a(x^2+2x+3)+bの-2≦x≦2における最大値は14、最小値は3である・・・(1)
⇒x^2+2x+3=tとおく・・・(2)
⇒y=at^2-2at+bの-2≦x≦2における最大値は14、最小値は3である・・・(3)
⇒-2≦x≦2におけるtの変域を求める・・・(4)
⇒y=at^2-2at+bの2≦t≦11における最大値は14、最小値は3である・・・(5)

こう考えると(3)まではいいのですが、(4)からうまく納得できません。
-2≦x≦2だったらtの変域は確かに2≦t≦11なのですが、
そしたらy=at^2-2at+b(2≦t≦11)ですが、元((1))のグラフがどういうものかは分かりませんが、これは元のグラフとは異なっているので、2≦t≦11と求めたは良いものの、y=at^2-2at+bでこの範囲における最大・最小が何故、元の-2≦x≦2における最大・最小の14,3と同じなのかイメージが沸きません。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

こう考えては如何でしょう？
（１）元々の関数をｙ＝ｆ（ｘ）、ｘ＾２＋２ｘ＋３＝ｔとおきａｔ＾２－２ａｔ＋ｂをｇ（ｔ）とおきます。
（２）二つのグラフを考えます。１つはｘに対してｆ（ｘ）を、もう１つはｔに対してｇ（ｔ）をプロットするものとします。
（３）ｔ＝ｘ＾２＋２ｘ＋３なので、あるｘの値にはあるｔの値が対応します。この組をｘ１、ｔ１とします。すると、ｆ（ｘ１）＝ｇ（ｔ１）になるはずです。
（４）（２）で考えた一つ目のグラフの（ｘ１，０）から二つ目のグラフの（ｔ１，０）に向けて矢印を書きます。

こうするとｘとｔ、そしてｆ（ｘ）（＝ｇ（ｔ））の対応関係が見えてくると思うのですが。

回答No.2

noname#111804

（１）式の-2≦x≦2におけるグラフは下図のようになります。
ただし、a＝１、b=１の場合です。

このグラフから最大値１４．最小値３になるような
a,bがもとまると思います。