ａを定数とし、ｙ=－４ｘ^2＋４(ａ－１)ｘ－ａ^2のグラフをＣとする

質問

ａを定数とし、ｙ=－４ｘ^2＋４(ａ－１)ｘ－ａ^2のグラフをＣとする。

ａ＞１とする。
ｘが－１≦ｘ≦１の範囲にあるとき、この二次関数の最大値と最小値を調べる。
ａの範囲とともに最大値、最小値を求めよ。
また最大値と最小値の差が12になるのはａがいくつのときか。

解法わかるかた教えて頂きたいです

よろしくお願いします

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

まず準備として与えられた2次関数を平方完成の形にしておきます。
　　y=-4x^2+4(a-1)x-a^2 =-4{x-(a-1)/2}^2-2a+1

　ここで　a>1 がありますので　与えられた2次関数の軸 x=(a-1)/2 は正です。
　このことから「ｘが－１≦ｘ≦１の範囲にあるとき、この二次関数の最大値と最小値を調べる」には次のように場合分けします。

(1) 軸が-1≦x≦1の範囲外のとき　（つまり　(a-1)/2>1　∴a>3 のとき）
　　与えられた2次関数は上に凸の放物線なので、軸に近い方が最大値で　遠い方が最小値になり、次のようになります。
　　　最大値：f(1)=-a^2+4a-8
　　　最小値：f(-1)=-a^2-4a

(2) 軸が0＜x≦1の範囲内のとき　（つまり　0＜(a-1)/2≦1 ∴1<a≦3 のとき）
　　与えられた2次関数は上に凸の放物線なので、頂点で最大値をとり　最も軸から離れた点で最小値をとります。
　　　最大値：f((a-1)/2)=-2a+1
　　　最小値：f(-1)=-a^2-4a

　また「最大値と最小値の差が12になる」ことを調べるために差をとる。

(1) a>3 のとき
　　-a^2+4a-8-(-a^2-4a)=12
　　∴a=5/2
　　この解はa>3を満たさないので不適。

(2) 1<a≦3 のとき
　　-2a+1-(-a^2-4a)=12
　⇔a^2+2a-11=0
　∴a=-1±2√3
　　ここで1<a≦3を満たす解は　a=-1+2√3 (≒2.46)

　以上から最大値と最小値の差が12になるのは　a=-1+2√3 のとき。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。

おかげでしっかり理解して解くことができました

回答No.1

info22_

ｙ=-4x^2 +4(a-1)x-a^2
=-4{x+(1-a)/2}^2 +1-2a
これは上に凸の放物線で対称軸は　x=(a-1)/2 (>0 ∵a>1)、頂点のy座標は (1-2a)
です。
-1≦x≦1における最小値はx=-1とx=1におけるyの値の小さい方の値になります。

対称軸x=(a-1)/2>0なので最小値はx=-1のときのyの値になりますから
最小値=-4+4(1-a)-a^2=-a(a+4)

最大値は対称軸の位置により変わりますのでa(>1)による場合分けが必要になります。

対称軸x=(a-1)/2≦1の時(1＜a≦3の時）x=(a-1)/2の時　最大値=1-2a
対称軸x=(a-1)/2＞1の時(a＞3の時)　x=1の時　最大値=-4+4(a-1)-a^2=-a^2+4a-8

後半は
1＜a≦3の時 最大値-最小値=(1-2a)-{-a(a+4)}=1+2a+a^2=(a+1)^2=12
a+1>0なので　a+1=√12=2√3
∴a=2√3-1(≒2.464…)　これは場合分けの条件を満たす。

a＞3の時　最大値-最小値=(-a^2+4a-8)-(-a^2-4a)=8a-8=12, 8a=20
∴a=5/2（＜3）　これは場合の条件を満たさない。

したがって　aは前者の場合の 「a=2√3」 が答えになります。

お礼

ありがとうございます。

理解できました。