mを定数とする二次関数の問題です

質問

mを定数とし、xの二次関数　y＝x2乗＋2（m-2）x＋2m2乗-5m-2 (1)のグラフをCとする。
(1)Cの軸の方程式はx＝（　）であるから(1)のyが1≦x≦3の範囲においてx＝3で最小と
　なるようなmの範囲は（　）である。
(2)Cとx軸が異なる2点で交わるとき、mのとりうる値の範囲は（　）であり、mがこの範囲
　にあるとき、Cとy軸の交点のy座標の最小値は（　）である。
どうぞ、よろしく解答をお願いします。

回答No.2

CC_T

no.1ですが、一応回答を。

y=x^2+2(m-2)x+2m^2-5m-2
={x+(m-2)}^2+(m-3)(m+2)
これが(1)式の展開ですよね。

∵ x^2+2(m-2)x+(m-2)^2+(m-3)(m+2)
=x^2+2(m-2)x+(m^2-4m+4)+(m^2+2m-3m-6)
=x^2+2(m-2)x+2m^2-5m-2

mは定数ですから、上に開いた二次関数のグラフで、頂点がX=0,Y=0からそれぞれX軸方向にm-2、y軸方向に(m-3)(m+2)だけズレているわけです。

ですから、Cの軸の方程式はx＝2-m　
∵{x+(m-2)}^2=0、すなわちx=2-mの時に(1)式のx項はゼロになり、Y=(m-3)(m+2)で頂点となる。

上に開の２次曲線でyが1≦x≦3の範囲においてx＝3で最小となるのであれば、x=3より右の位置に頂点が来れば良い。
頂点の位置については先のx＝2-mの関係より、
　x=1に頂点が来る場合：m=0
　x=2に頂点が来る場合：m=-1
　x=3に頂点が来る場合：m=-2
と、mが小さくなるほど頂点はxが大きいの方向にズレるのですから、
x＝3で最小となるようなmの範囲は　m<-2　ですね。

次にCとx軸が異なる2点で交わるという事は、X項がゼロとなる頂点の位置がy<0の範囲にあればよいわけですから、
(m-3)(m+2)<0がその範囲であり、mの取りうる範囲としては　3>m>-2

で、最後のCとy軸の交点のy座標の最小値ってのはx=0の時のy値ってことですから、
大元の式からx=0の時、y=2m^2-5m-2　となるのでこれを解けばよい。
またしても上に開の2次方程式ですからまず軸を求めてみましょう。
y=2m^2-5m-2
=2(m^2-5/2m-1) 　う・・・綺麗に因数分解できないな。しかしこれも上に開の２次曲線だから
=2m(m-5/2)-2 と単純化してみるとy=0になるm=0とm=5/2の間の中央値すなわちm=5/4が軸ってことで、
これは3>m>-2の範囲に入っているから、m=5/4のときのy=-5.125がyの最少値。

最後が半端な数でちょっと気もち悪いですが、以上ですかね。
検算してませんので計算違いしてるかもしれませんが、考え方はあってるはずですので、改めて自分でも解いてみてくださいな。

それにしても、紙に書いてスキャンするほうが早かったな・・・(^^;

お礼

解答ありがとうございました。式の展開を記載いただき、最初から自分のミスでつまずいたと気づきました。
そして理路整然とした説明に納得しました。
ジャンルは自分の趣味を間違って入力してしまいました。
すみませんでした。

回答No.1

CC_T

いやいやいや、カテゴリーDIYでの質問じゃないでしょう（＾＾；
OKWave > 学問・教育 >　数学
カテでの質問おお勧めします。