関数を教えて下さい

質問

２つの関数ｆ（ｘ）＝３^２、ｇ（ｘ）＝３^ｋ－ｘ（ｋは正の定数）がある。また、ｙ＝ｇ（ｘ）のグラフとｙ軸との交点をＡとする。

（１）ｆ（０）の値を求めよ。また、点Ａの座標をｋを用いて表せ。
→解けました。
ｆ（０）＝１
Ａ（０，３^ｋ）です。

（２）ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝ｇ（ｘ）のグラフとの交点をＰ、点Ａを通りｘ軸に平行な直線とｙ＝ｆ（ｘ）のグラフとの交点をＱ、点Ｑを通りｙ軸に平行な直線とｙ＝ｇ（ｘ）のグラフとの交点をＲとする。このとき、Ｐ、Ｑ、Ｒの座標をそれぞれｋを用いて表せ。
→ａ＞０、ａ≠１のとき、ａ^ｍ＝ａ^ｎ⇔ｍ＝ｎを使うそうです。

（３）（２）における３点Ｐ、Ｑ、Ｒに対して、△ＯＰＡと△ＰＱＲの面積の比が３：１となるようなｋの値を求めよ。ただし、Ｏは座標の原点とする。
→点ＰからＯＡ、ＱＲにそれぞれ垂線ＰＨ、ＰＫを引くと
△ＯＰＡ＝１／２ＯＡ・ＰＨ
△ＰＱＲ＝１／２ＱＲ・ＰＫ
であるから、△ＯＰＡ＝３△ＰＱＲより、方程式が立つ。３^□＝Ｘのように文字でおくと、簡単な方程式になり解きやすい。を使うそうです。

解答と解説をよろしくお願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

>２つの関数ｆ（ｘ）＝３^２、ｇ（ｘ）＝３^ｋ－ｘ（ｋは正の定数）がある。また、ｙ＝ｇ（ｘ）のグ
>ラフとｙ軸との交点をＡとする。
問題文は、
「２つの関数ｆ（ｘ）＝３^x、ｇ（ｘ）＝３^(k-x)（ｋは正の定数）がある。また、ｙ＝ｇ（ｘ）のグ
ラフとｙ軸との交点をＡとする。」
のように解釈して考えました。

>（１）ｆ（０）の値を求めよ。また、点Ａの座標をｋを用いて表せ。
>→解けました。
>ｆ（０）＝１
>Ａ（０，３^ｋ）です。……（１）

>（２）ｙ＝ｆ（ｘ）とｙ＝ｇ（ｘ）のグラフとの交点をＰ、点Ａを通りｘ軸に平行な直線とｙ＝ｆ
>（ｘ）のグラフとの交点をＱ、点Ｑを通りｙ軸に平行な直線とｙ＝ｇ（ｘ）のグラフとの交点をＲとす
>る。このとき、Ｐ、Ｑ、Ｒの座標をそれぞれｋを用いて表せ。
>→ａ＞０、ａ≠１のとき、ａ^ｍ＝ａ^ｎ⇔ｍ＝ｎを使うそうです。

交点Ｐは、ｙ＝３^xとｙ＝３^(k-x)を連立方程式にして解きます。
ａ＝３＞０、ａ＝３≠１のとき、ａ^ｍ＝ａ^ｎ⇔ｍ＝ｎをつかうと、
３^x＝３^(k-x)⇔ｘ＝ｋ－ｘより、ｘ＝ｋ／２、ｙ＝３^(k/2)　　よって、Ｐ（ｋ／２，３^(k/2)）

交点Ｑは、点Ａを通りｘ軸に平行な直線とｙ＝ｆ（ｘ）のグラフとの交点をＱより、
点Ａを通りｘ軸に平行な直線の式は、ｙ＝３^k　これををｙ＝ｆ（ｘ）の式へ代入して、
３^k＝３^xより、ｘ＝ｋ　　よって、Ｑ（ｋ，３^k）

点Ｒは、点Ｑを通りｙ軸に平行な直線とｙ＝ｇ（ｘ）のグラフとの交点をＲより、
点Ｑを通りｙ軸に平行な直線の式は、ｘ＝ｋ　これをｙ＝ｇ（ｘ）の式は代入して
ｙ＝３^(k-k)＝３^0＝１　よって、Ｒ（ｋ，１）

答えは、Ｐ（ｋ／２，３^(k/2)），Ｑ（ｋ，３^k），Ｒ（ｋ，１）……（２）

>（３）（２）における３点Ｐ、Ｑ、Ｒに対して、△ＯＰＡと△ＰＱＲの面積の比が３：１となるような
>ｋの値を求めよ。ただし、Ｏは座標の原点とする。
>→点ＰからＯＡ、ＱＲにそれぞれ垂線ＰＨ、ＰＫを引くと
>△ＯＰＡ＝１／２ＯＡ・ＰＨ
>△ＰＱＲ＝１／２ＱＲ・ＰＫ
>であるから、△ＯＰＡ＝３△ＰＱＲより、方程式が立つ。３^□＝Ｘのように文字でおくと、簡単な方程
>式になり解きやすい。を使うそうです。

点ＰからＯＡ、ＱＲにそれぞれ垂線ＰＨ、ＰＫを引く。
（１）（２）より、
ＯＡ＝３^k，ＰＨ＝ｋ／２，ＱＲ＝３^k－１，ＰＫ＝ＡＱ－ＰＨ＝ｋ－（ｋ／２）＝ｋ／２
△ＯＰＡの面積＝（１／２）ＯＡ・ＰＨ
　　　　　　　＝（１／２）・３^k・（ｋ／２）
　　　　　　　＝（ｋ／４）・３^k
△ＰＱＲの面積＝（１／２）ＱＲ・ＰＫ
　　　　　　　＝（１／２）・（３^k－１）・（ｋ／２）
　　　　　　　＝（ｋ／４）・（３^k－１）
△ＯＰＡと△ＰＱＲの面積の比が３：１となるような　から、
△ＯＰＡ＝３△ＰＱＲより　　　　　
（ｋ／４）・３^k＝３・（ｋ／４）・（３^k－１）
これを整理すると、
（ｋ／４）（３・３^k－３^k－３）＝０
ｋ／４＞０より、３・３^k－３^k－３＝０
ここで、３^k＝Ｘとおくと
３Ｘ－Ｘ－３＝０、　２Ｘ＝３、　ｘ＝３／２
３^k＝３／２より、ｋ＝log3（3/2)
　　　　　　　　　　＝log3３－log3２
　　　　　　　　　　＝１－log3２　……答え

何かあったらお願いします。（できれば答えを教えて下さい。）

回答No.1

ONEONE

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