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2次関数の最大・最小

問: 次の条件に適するように、定数aの値を求めよ。 (1)関数y=x^2-4x+a (1<=x<=5)の最大値が6である。 (2)関数y=-x^2+3x+a (-3<=x<=1)の最大値が4である。 (3)関数y=-x^2-4x+aの最大値が、関数y=x^2-4xの最小値と一致する。 答: (1)a=1 (2)a=2 (3)a=-8 解説して下さい!

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(1) y = x^2 - 4x + a = (x - 2)^2 - 4 + a と平方完成できる。 頂点の座標は(2, a - 4)である。 xの変域である1 ≦ x ≦ 5と頂点のx座標である2とを比べると、 xの変域の中央であるx = 3よりも頂点のx座標が左側にあるので、 x = 5のときに最大値をとることがわかる。 よって、5^2 - 20 + a = 6 5 + a = 6 ∴a = 1 (2) y = -x^2 + 3x + a = -(x^2 - 3x) + a = -(x - 3/2)^2 + 9/4 + a と平方完成できる。 頂点の座標は(3/2, a + 9/4)である。 xの変域である-3 ≦ x ≦ 1と頂点のx座標である3/2とを比べると、 3/2はxの変域の範囲外にあり、かつ、xの変域の最大値1よりも大きいので、 x = 1のときに最大値をとることがわかる。 よって、-1 + 3 + a = 4 a + 2 = 4 ∴a = 2 (3) y = x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 と平方完成できる。これは(2, -4)を頂点とする下に凸な放物線であるから、 最小値は-4である。 y = -x^2 - 4x + a = -(x^2 + 4x) + a = -(x + 2)^2 + 4 + a と平方完成できる。これは(-2, a + 4)を頂点とする上に凸な放物線であるから、 最大値はa + 4である。 これが-4に等しいので、 a + 4 = -4 ∴a = -8

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