２次関数の最大・最小

質問

問：
次の条件に適するように、定数ａの値を求めよ。
（１）関数y=x^2-4x+a (1<=x<=5)の最大値が６である。
（２）関数y=-x^2+3x+a (-3<=x<=1)の最大値が４である。

（３）関数y=-x^2-4x+aの最大値が、関数y=x^2-4xの最小値と一致する。

答：
（１）a=1
（２）a=2
（３）a=-8

解説して下さい！

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

(1)
y = x^2 - 4x + a
= (x - 2)^2 - 4 + a
と平方完成できる。
頂点の座標は(2, a - 4)である。
xの変域である1 ≦ x ≦ 5と頂点のx座標である2とを比べると、
xの変域の中央であるx = 3よりも頂点のx座標が左側にあるので、
x = 5のときに最大値をとることがわかる。
よって、5^2 - 20 + a = 6
5 + a = 6
∴a = 1

(2)
y = -x^2 + 3x + a
= -(x^2 - 3x) + a
= -(x - 3/2)^2 + 9/4 + a
と平方完成できる。
頂点の座標は(3/2, a + 9/4)である。
xの変域である-3 ≦ x ≦ 1と頂点のx座標である3/2とを比べると、
3/2はxの変域の範囲外にあり、かつ、xの変域の最大値1よりも大きいので、
x = 1のときに最大値をとることがわかる。
よって、-1 + 3 + a = 4
a + 2 = 4
∴a = 2

(3)
y = x^2 - 4x
= (x - 2)^2 - 4
と平方完成できる。これは(2, -4)を頂点とする下に凸な放物線であるから、
最小値は-4である。
y = -x^2 - 4x + a
= -(x^2 + 4x) + a
= -(x + 2)^2 + 4 + a
と平方完成できる。これは(-2, a + 4)を頂点とする上に凸な放物線であるから、
最大値はa + 4である。
これが-4に等しいので、
a + 4 = -4
∴a = -8