数1 区間が変化する二次関数の最大・最小

質問

すみません。どなたか教えてください。
よろしくお願いします。

問)二次関数 f(x)=x^2 －6x + 32 ( 0 ≦ x ≦ 4 )・・・(1)について次の問に答えよ。

(1)(1)の最小値を求めよ。またその時のx の値も求めよ。

(2) aを 0 ≦ a ≦ 3 を満たす定数とする。a ≦ x ≦ a+1 における f(x)の最大値を求めよ。

特に(2)の解き方がわかりません。よろしくお願いいたします。

回答No.1

bran111 · ベストアンサー

この問題はy=f(x)=(x^2-6x+32=(x-3)^2+23(0≦x≦4) (1)
のグラフを正しく書くこと、変域に応じて最大値、最小値がどのようになるかをグラフ上で確認することです。

(1)(1)の最小値を求めよ。またその時のx の値も求めよ。

(1)は中心軸がx=3,このとき最小値23をとる。中心軸が変域に入っているので答えは
最小値＝23、このときx=3

(2) aを 0≦a≦3 を満たす定数とする。a≦x≦a+1 における f(x)の最大値を求めよ。

幅1の短冊を左右にずらしながら最大値はどこで発生するかを見ていけばよい。短冊が中心軸(x=3)の左側では最大は短冊の左端、短冊が中心軸(x=3)の右側では最大は短冊の右端、ということがわかりますか。

答え
1)　0≦a≦2.5のとき　最大値＝f(a)=(a-3)^2+23
2）2.5<a≦3のとき　最大値＝f(a+1)=(a-2)^2+23

a=2.5付近における最大値をよく見極めてください。

お礼

bran 111 様
丁寧に教えてくださりありがとうございます。
(1)番はわかりました！(2)のa=2.5 はどのように求めたらよいのでしょうか。教えてくださいませんか。

回答No.3

bran111

#1,2です。
＞区間の幅が1なので、真ん中をx=3にすると、0.5ずつ差があり、両端が2.5と3.5になると考えたらいいのでしょうか。

⇒　そのとおり

0 ≦ a ≦ 3 　⇒　a ≦ x ≦ a+1 ⇒　0 ≦ x ≦ 4の範囲で考えることになります。

お礼

やっとわかりました。繰り返し解いてみます。
何度も丁寧に教えくださりありがとうございました！

回答No.2

bran111

#1です。

a=2.5のとき、「a ≦ x ≦ a+1 における f(x)の最大値を求めよ」ということは、「2.5 ≦ x ≦ 3.5 における f(x)の最大値を求めよ」ということであり、その真ん中はｘ＝3であって、中心軸の位置になっているわけです。その場合は最大値はx=a=2.5, x=a+1=3.5の両端で取ります。aが少し左によると(a<2.5), x=aで最大になることがわかりますか。同様にaが少し右によると(a＞2.5), x=a+1で最大になることがわかりますか。このようなことからa=2.5で分類する必要が出てきます。

お礼

ありがとうございます。
少し左によったり、右によったら最大になることが説明していただきわかりました！あともう一つお聞き出来ますか？
区間の幅が1なので、真ん中をx=3にすると、0.5ずつ差があり、両端が2.5と3.5になると考えたらいいのでしょうか。