二次関数の最大と最小

質問

二次関数の最大と最小

二次関数y=4x^2-2kx+3k-1の最小値をmとするとき、次の問いに答えよ

1)mをkの式で表せ

2)mをkの二次関数とみたとき、mの最大値を求めよ

二次関数y=x^2-2x+k(-1≦x≦2)の最大値が7であるとき、定数kの値を求めよ

詳しく説明お願いします！

回答No.2

mister_moonlight

2次関数に、しかも高校１年レベルの問題に、微分を持ち出すなんてどうかしてる。

どっちの問題も、平方完成して頂点の座標を求める。
最初の問題は、xの範囲(条件)がないから、x＝k/4のときに最小となる。mはkの二次関数、しかも上に凸でkの条件がないから、その頂点で最大になる。

次の問題も平方完成して、そのグラフを書いてみる。但し、今度は　-1≦x≦2　という条件がついている。
軸：x＝1から　x＝-1　の時に最大になる事くらいはわかるだろう。
最小値は、x＝1　の時。

回答No.1

KEIS050162

考え方を書いておきます。最大最小の求め方は色々あると思いますが、微分を使った極値の求め方で説明します。

１）
ｘ２の定数が正なので、この二次関数の極値が最小値（極少値）となる。
ｙを一次微分し、ｙ’＝０となるｘを求めて、これを代入し、
ｍをｋのみで表す。（ｋの二次式になるはずです）

２）
１）で求めたｋの二次式は、ｋの定数が負になる（はず）なので、１）と同様に一次微分し、極大値を取るｋを求め、そこからｍを計算する。

３）この二次関数はｘ２の定数が正なので、極少値を取るｘの値を求める。
ｘの値と、条件の範囲から最大となる点を求める。即ち、範囲内の中点が極少値より小さければ、範囲の最小（即ちｘ＝－１）で最大となるので、これを代入しｙをｋだけの式で表す。
最後に、ｙ＝７と置いて、ｋを計算する。

ご参考に。