数学「関数の最大・最小」の問題を教えてください。

質問

(1)関数y=－x^3+xの－1≦x≦2における最大値、最小値を求めてください。また、そのときのxの値を求めてください。（途中式もお願いします。）

(2)関数f(x)=3x^3－a^2x+1 (0≦x≦1)の最大値と最小値を求めてください。ただし、0<a<3とします。（途中式もお願いします。）

ちなみに答えは、
(1)x=√3/3で最大値(2√3)/9、x=2で最小値－6

回答No.4

ferien · ベストアンサー

ANo.2ANo.3です。　（２）だけ再回答します。

＞(2)関数f(x)=3x^3－a^2x+1 (0≦x≦1)の最大値と最小値を求めてください。
＞ただし、0<a<3とします。
ｆ'（ｘ）＝９ｘ^2－ａ^2＝０より、ｘ^2＝ａ^2／９　0≦x≦1より、ｘ＝ａ／３
０＜ａ＜３より、０＜ａ／３＜３／３＝１だから、
ｘ＝ａ／３は、０≦ｘ≦１の範囲内にあるから、ｘ＝ａ／３で極値をとる。
増減表をつくると、
ｆ（ｘ）は、０≦ｘ＜ａ／３で減少（例えば、ｆ'（０）＝－ａ^2＜０）
ａ／３＜ｘ≦１で増加（例えば、ｆ'（１）＝９－ａ^2＞０，０＜ａ^2＜９より）だから、
ｘ＝ａ／３で、極小値をとる。ｆ（ａ／３）＝（－２ａ^3／９）＋１
ｆ（０）＝１，ｆ（１）＝３－ａ^2＋１＝４－ａ^2
よって、
増減表から、最小値は、ｆ（ａ／３）＝（－２ａ^3／９）＋１　……（＊）
ｆ（０）かｆ（１）が最大値だから、ここで、
ｆ（０）＝ｆ（１）とおくと、１＝４－ａ^2より、
ａ^2＝３，０＜ａ＜３だから、ａ＝√３
（これがｆ（０）とｆ（１）が一致するときのａの値です。）
よって、
ａ＝√３のとき、最大値ｆ（０）＝ｆ（１）＝１
最小値は、（＊）にａ＝√３を代入して、ｆ（√３／３）＝（－２√３／３）＋１
０＜ａ＜√３のとき、ｆ（０）－ｆ（１）＝１－（４－ａ^2）＝ａ^2－３＜０だから、
ｆ（０）＜ｆ（１）より、最大値は、ｆ（１）＝４－ａ^2，最小値は、（＊）
√３＜ａ＜３のとき、ｆ（０）－ｆ（１）＝ａ^2－３＞０だから、
ｆ（０）＞ｆ（１）より、最大値は、ｆ（０）＝１，最小値は、（＊）

以上より、まとめると、
０＜ａ＜√３のとき、最大値ｆ（１）＝４－ａ^2，最小値ｆ（ａ／３）＝（－２ａ^3／９）＋１
ａ＝√３のとき、最大値ｆ（０）＝ｆ（１）＝１，最小値ｆ（√３／３）＝（－２√３／３）＋１
√３＜ａ＜３のとき、最大値ｆ（０）＝１，最小値ｆ（ａ／３）＝（－２ａ^3／９）＋１

お礼

本当にありがとうございました。
とても助かりました。

回答No.3

ferien

ANo.2です。補足について

＞関数f(x)=3x^3－a^2x+1 (0≦x≦1)
問題を勘違いしてました。ｆ（ｘ）＝－３ｘ^3－ａｘ^2＋１だと思っていました。

改めて考えてみます。

補足

すみません、よろしくお願いします。

回答No.2

ferien

＞(1)関数y=－x^3+xの－1≦x≦2における最大値、最小値を求めてください。
＞また、そのときのxの値を求めてください。
ｙ＝ｆ（ｘ）とおくと、
ｆ'（ｘ）＝－３ｘ^2＋１＝０より、ｘ＝±１／√３＝±√３／３で極値をとる。
（－１≦ｘ≦２の範囲内にあります。）
増減表より、極大値，極小値を求め、区間－1≦x≦2の端のときの値ｆ（－１）とｆ（２）を求め、
その４つの中で、一番大きい値を最大値，一番小さい値を最小値とするだけです。
式には文字も含まれていないし、答えもあるので、自力でやってみて下さい。

＞(2)関数f(x)=3x^3－a^2x+1 (0≦x≦1)の最大値と最小値を求めてください。
＞ただし、0<a<3とします。
ｆ'（ｘ）＝９ｘ^2－２ａｘ＝ｘ（９ｘ－２ａ）＝０より、ｘ＝０，ｘ＝２ａ／９
０＜ａ＜３より、０＜２ａ／９＜３×（２／９）＝２／３だから、
ｘ＝２ａ／９は、０≦ｘ≦１の範囲内にあるから、ｘ＝０，２ａ／９で極値をとる。
増減表をつくると、
ｆ（ｘ）は、０≦ｘ＜２ａ／９で減少（例えば、ｆ'（ａ／９）＜０）
２ａ／９＜ｘ≦１で増加（例えば、ｆ'（ａ／３）＞０）だから、
ｘ＝２ａ／９で、極小値をとる。ｆ（２ａ／９）＝（－４ａ^3／２４３）＋１
ｆ（０）＝１，ｆ（１）＝３－ａ＋１＝４－ａ
よって、
増減表から、最小値は、ｆ（２ａ／９）＝（－４ａ^3／２４３）＋１
ｆ（０）かｆ（１）が最大値だから、
ｆ（０）－ｆ（１）＝１－（４－ａ）＝ａ－３＜０（０＜ａ＜３だから）より、
ｆ（０）＜ｆ（１）だから、最大値は、ｆ（１）＝４－ａ

でどうでしょうか？

補足

（２）の答えなんですが、
（i）0<a<√３のとき
x=1で最大値－a^2+4、x=a/3で最小値－(2a^3)/9+1
(ii)a=√3のとき
x=0、1で最大値1、x=√３/３で最小値－(2√3)/3+1
(iii)√3<a<3のとき
x=0のとき最大値1、x=a/3のとき最小値－(2a^3)/9+1
です。

回答No.1

aries_1

微分は習っていますか?
(1)y=-x`3+x…(1)
y'=-3x`2+1
y'=0のとき、x=√(1/3)=√3/3…(2)
よってyは増加関数より、「最大値はx=√3/3のとき2√3/9((1)に(2)を代入)」
(1)にx=-1、2を代入すると、
x=-1のときy=0
x=2のときy=-6なので「最小値はx=2のとき-6」

(2)f(x)=3x`3+a`2x+1
f'(x)=9x`2+2ax
f'(x)=0とすると、x=0、-2a/9
ここで、0＜a＜3より常に-2a/9＜0が成立する
ここでxについての増減表より(自分で書いてみてください)、
最小値はx=-2a/9のとき(-62a`3/243)+1
最大値はx=0のとき1