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数学二次関数 最小値の最大・最小
mを実数とする。xの関数 f(x)=X^2+3x+m の m≦x≦m+2 における最小値をgとおく。 (1) gをmを用いて表せ。 (2)mの値がすべての実数を変化するとき、gの最小値を求めよ。 という問題なのですが(2)の答えが－6(m=－4)になると書いてありました。 ですがgが問題に書いてある通りの条件なら－6にはならないと思いました。(f(x)上にy=－6という点は存在しないので) この考えはどこが違うのか教えていただきたいです
- 20smhjn0641
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- nananotanu
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二次関数の極致⇒二次関数の極値 でしたね、ごめんなさい
- nananotanu
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二次関数の極致は頂点とは限らないです。 定義域に頂点が含まれない場合、定義域の両端が極値。
- asuncion
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xの定義域なのかmの定義域なのかが判別しづらいようでしたら、 i) m + 2 ≦ -3/2よりm ≦ -7/2、つまり『xの』定義域が軸の左側にあるとき g = f(m + 2) = (m + 2)^2 + 3(m + 2) + m = m^2 + 8m + 10 ii) m ≦ -3/2 ≦ m + 2より-7/2 ≦ m ≦ -3/2、つまり『xの』定義域に軸を含むとき g = f(-3/2) = m - 9/4 iii) -3/2 ≦ m、つまり『xの』定義域が軸の右側にあるとき g = f(m) = m^2 + 4m と考える。 と解釈してください。
- asuncion
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場合分けの区切りにおいて等号はどう付けてもかまわないので、 i) m + 2 ≦ -3/2よりm ≦ -7/2、つまり定義域が軸の左側にあるとき g = f(m + 2) = (m + 2)^2 + 3(m + 2) + m = m^2 + 8m + 10 ii) m ≦ -3/2 ≦ m + 2より-7/2 ≦ m ≦ -3/2、つまり定義域に軸を含むとき g = f(-3/2) = m - 9/4 iii) -3/2 ≦ m、つまり定義域が軸の右側にあるとき g = f(m) = m^2 + 4m と考える。 i) m ≦ -7/2におけるg = m^2 + 8m + 10の最小値を求める。 g = (m + 4)^2 -16 + 10 = (m + 4)^2 - 6であるから、頂点は(-4, -6) mの定義域m ≦ -7/2に頂点を含むから、gの最小値 = -6 ii) -7/2 ≦ m ≦ -3/2におけるg = m - 9/4の最小値を求める。 傾き1の直線であるから、gが最小になるのはm = -7/2のときで、gの最小値 = -14/4 - 9/4 = -23/4 iii) -3/2 ≦ mにおけるg = m^2 + 4mの最小値を求める。 g = m^2 + 4m = (m + 2)^2 - 4であるから、頂点は(-2, -4) mの定義域-3/2 ≦ mは頂点の右側にあるから、gが最小になるのはm = -3/2のときで、 gの最小値 = 9/4 - 6 = -15/4 以上の考察から、gの最小値は-6で、そのときのm = -4
- asuncion
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(1) f(x) = x^2 + 3x + m = (x + 3/2)^2 + m - 9/4と平方完成できるから、 頂点は(-3/2. m - 9/4) m ≦ x ≦ m + 2より、x軸上に幅2の棒を置き、左右に動かすことを考える。 i) m + 2 ＜ -3/2よりm < -7/2、つまり定義域が軸の左側にあるとき g = f(m + 2) = (m + 2)^2 + 3(m + 2) + m = m^2 + 8m + 10 ii) m ≦ -3/2 ≦ m + 2より-7/2 ≦ m ≦ -3/2、つまり定義域に軸を含むとき g = f(-3/2) = m - 9/4 iii) -3/2 ＜ m、つまり定義域が軸の右側にあるとき g = f(m) = m^2 + 4m という風に考える必要があるのではないかと思います。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
＞頂点は(1)より(載せていなくてすいません) -7/2≦m≦-3/2 の範囲に含まれます。 どうしてですか？計算の過程を示してください。
- asuncion
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＞(f(x)上にy=－6という点は存在しないので) どうしてですか？ 例えば、m = -24とすると、f(x) = x^2 + 3x - 24より、 x = 3, -6のときに y = -6になりますよ。
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