二次関数の最大と最小

質問

今晩は

参考書の説明ではよく分からないので教えてください。

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例題：
二次関数y=x^2-2x+2のa≦x≦a+2に於ける最大値を求めよ
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解説：
下に凸型のグラフでの最大値を求める問題で、区間の両端が決め手となる。
関数をy=f(x)とおくと、f(a)=f(a+2)を満たすaの値が、場合分けの境界値になる

y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1
xの変域a≦x≦a+2の幅は2で一定
f(x)=x^2-2x+2とおくと
f(a)=a^2-2a+2
f(a+2)=a^2+2a+2
f(a)=f(a+2)とすると、a=0
よって、
a＜0のとき x=aで最大値a^2-2a+2をとる
0≦aのとき x=a+2で最大値a^2+2a+2をとる
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このようにありました。
ですが、f(a)=f(a+2)とする意味が全然分かりません。
xの範囲の最大値の時の関数と最小値の時の関数、つまり区間の両端を等式で
結ぶことがどうして答えに繋がるのか見当が付きません。

何故区間内の最大値/最小値を求めるときに、区間の最小値の時の関数と最大
値の時の関数を等しくするのですか？

宜敷御願い致します

回答No.3

yhposolihp · ベストアンサー

（最大値の時の関数）、（最小値の時の関数）
　　と書いてありますが、
　　これは 、（関数/変数）と見ると混乱します。

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f(x)=(x^2)-2x+2 に、
　x=0を代入すると、yの値は、f(0)=2
　x=１を代入すると、yの値は、f(1)=1
　x=2を代入すると、yの値は、f(2)=2
と表現されます。

　各々の＜数値/定数＞を書く代わりに、

　x=a を代入して、
　　　　f(a)=(a^2)-2a+2 ←　＜数値/定数＞
　x=a+2を代入して、
　　　　f(a+2)=(a^2)+2a+2 ← ＜数値/定数＞

　f(0),f(1),f(2)が数値/定数であると同様に、
　f(a)もf(a+2)も数値/定数と見るのが、
　自然な流れです。

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　曲線y=ｇ(x)上の点Ｐのｘ座標がaとき、
　ｙ座標は、g(a)で、
　Ｐ(a, g(a))と表現されのは判ると思います。
　このとき、g(a)が（関数）とは感じないはずです。

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　ただし、f(a)とf(a+2)を（関数）と見ても良いですが、
　判り難く、微妙（ニュアーンスの違い）ですから、
　今は（今回の問題では）、数値と見るのが賢明です。
　ニュアーンスの違いがあるため、
　テクストには明示的に書かれません。
　関数/変数と見えるか、数値/定数と見えるか、
　は無意識です。
　多数の問題をこなす内に無意識の世界で、
　数式を処理できるようになります。
　無理に意識するのもスマートではないと思います。

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　f(a)、f(a+2)を数値/定数と見ないと、
　解説の意味は判りません。
　数値/定数と見えれば、
　解説は自明と思えるはずです。

　f(a)=f(a+2)の意味は、
　ふたつのyの値が等しい。
　ふたつのyの値が等し時、当然ですが、
　x=a、x=a+2で同じ最大値をとります。

　そのaが幾らであるかの計算が、
　f(a)=f(a+2)
　(a^2)-2a+2= (a^2)+2a+2
　a=0　　です。

　● ← (a^2)-2a+2　● ← (a^2)+2a+2

　　●　　　　　　　　●

　　　　●　　　　●
　　　　　　　●
↑　　　　　　　　　　　↑
　a　　　　　　　　　　　a+2
ゼロ

（１）　区間[a,a+2]が、これより少しでも右にずれると、
　　ゼロ＜a　となって、
　x=a+2　で　最大値　f(a+2)=(a^2)+2a+2 。

（２）　区間[a,a+2]がこれより、少しでも左にずれると、
　　a＜ゼロ　となって、
　x=a　で　最大値　f(a)=(a^2)-2a+2 。

　　　　a=ゼロ は場合わけの境界ですから、
　　　　（１）（２）どちらに属しても良いとなります。
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　最小値の件は、等号で結ぶのではなく、
不等式を解く事になるので割愛しますが、
頂点が関与して境界は－１、１となるので、
３通りの場合分けになります。

回答No.4

tekcycle

さっき書いておいたんで読んでみて下さい。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3700747.html

グラフは当然描いた物として、
ａを小→大と動かすと、最大値に関して、
右肩より左肩が高い→右肩と左肩の高さが同じ→左肩より右肩が高い
と移り変わっていくことは明白ですね。(もっとも区間内に両肩がある場合ですが)
最大値を求めるときは、低い方の肩は要らないわけです。
だからどっちが高い方の肩なのか、が重要ということです。
つまりは、どっちが高いんですか？という幼稚園クラスの話を、厳密にどこからならどうなのか、とやっているわけです。

回答No.2

R_Earl

> 何故区間内の最大値/最小値を求めるときに、区間の最小値の時の関数と最大
> 値の時の関数を等しくするのですか？

まずこの考えが違います。
f(a+2)が最大で、f(a)で最小というのはありえます。
f(a+2)が最小で、f(a)が最大というのもありえます。
ですがf(a+2)が最大でf(1)が最小というケースもありますし、
f(a)が最大でf(1)が最小というケースもあります。

a = 1/2の時に最大・最小がどうなるのかを試してみると分かります。

> ですが、f(a)=f(a+2)とする意味が全然分かりません。

参考書が言いたかったのは、

『定義域a ≦ x ≦ a + 2』の中心が『y = x^2 - 2x + 2』の軸と重なる時のaの値を求めたい

ということなんです。

「定義域の中心」が「放物線の中心」より左にあれば最大値はf(a)です（実際にグラフに描いて確認してください）。
「定義域の中心」が「放物線の中心」より右にあれば最大値はf(a + 2)です。
このように最大値が変わってしまうので、この2つのケースで場合分けします。

しかし、右か左かを分けるには、真ん中がどこか分からなければ分けようがありません。
だから「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる時のaの値を求めるんです。

放物線は左右対称ですから、「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なるなら、
両端の値f(a)とf(a+2)は同じ値になります（実際に図に描いて確認して下さい）。
だから

「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる → f(a) = f(a+2)

となります。このf(a) = f(a+2)という方程式を解けば、
「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる時のaの値が求められます。

別にf(a) = f(a+2)を解かなくても、

『定義域a ≦ x ≦ a + 2』の中心はx = a + 1で、
これが『y = x^2 - 2x + 2』の軸x = 1と重なるから、
a + 1 = 1で、a = 0
つまり「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる時はa = 0

という風に考えることもできます。

回答No.1

koko_u_

>xの範囲の最大値の時の関数と最小値の時の関数、つまり区間の両端を等式で
> 結ぶことがどうして答えに繋がるのか見当が付きません。
両端のどっちかが最大だから、等しい時がその「どっちか」の境目ということ。