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二次関数の最大と最小
今晩は 参考書の説明ではよく分からないので教えてください。 ---------------------------------------------------------------------- 例題： 二次関数y=x^2-2x+2のa≦x≦a+2に於ける最大値を求めよ ---------------------------------------------------------------------- 解説： 下に凸型のグラフでの最大値を求める問題で、区間の両端が決め手となる。 関数をy=f(x)とおくと、f(a)=f(a+2)を満たすaの値が、場合分けの境界値になる y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1 xの変域a≦x≦a+2の幅は2で一定 f(x)=x^2-2x+2とおくと f(a)=a^2-2a+2 f(a+2)=a^2+2a+2 f(a)=f(a+2)とすると、a=0 よって、 a＜0のとき x=aで最大値a^2-2a+2をとる 0≦aのとき x=a+2で最大値a^2+2a+2をとる ---------------------------------------------------------------------- このようにありました。 ですが、f(a)=f(a+2)とする意味が全然分かりません。 xの範囲の最大値の時の関数と最小値の時の関数、つまり区間の両端を等式で 結ぶことがどうして答えに繋がるのか見当が付きません。 何故区間内の最大値/最小値を求めるときに、区間の最小値の時の関数と最大 値の時の関数を等しくするのですか？ 宜敷御願い致します
- popo1027
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- yhposolihp
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（最大値の時の関数）、（最小値の時の関数） と書いてありますが、 これは 、（関数/変数）と見ると混乱します。 --------- f(x)=(x^2)-2x+2 に、 x=0を代入すると、yの値は、f(0)=2 x=１を代入すると、yの値は、f(1)=1 x=2を代入すると、yの値は、f(2)=2 と表現されます。 各々の＜数値/定数＞を書く代わりに、 x=a を代入して、 f(a)=(a^2)-2a+2 ← ＜数値/定数＞ x=a+2を代入して、 f(a+2)=(a^2)+2a+2 ← ＜数値/定数＞ f(0),f(1),f(2)が数値/定数であると同様に、 f(a)もf(a+2)も数値/定数と見るのが、 自然な流れです。 --------- 曲線y=ｇ(x)上の点Ｐのｘ座標がaとき、 ｙ座標は、g(a)で、 Ｐ(a, g(a))と表現されのは判ると思います。 このとき、g(a)が（関数）とは感じないはずです。 --------------- ただし、f(a)とf(a+2)を（関数）と見ても良いですが、 判り難く、微妙（ニュアーンスの違い）ですから、 今は（今回の問題では）、数値と見るのが賢明です。 ニュアーンスの違いがあるため、 テクストには明示的に書かれません。 関数/変数と見えるか、数値/定数と見えるか、 は無意識です。 多数の問題をこなす内に無意識の世界で、 数式を処理できるようになります。 無理に意識するのもスマートではないと思います。 --------------- f(a)、f(a+2)を数値/定数と見ないと、 解説の意味は判りません。 数値/定数と見えれば、 解説は自明と思えるはずです。 f(a)=f(a+2)の意味は、 ふたつのyの値が等しい。 ふたつのyの値が等し時、当然ですが、 x=a、x=a+2で同じ最大値をとります。 そのaが幾らであるかの計算が、 f(a)=f(a+2) (a^2)-2a+2= (a^2)+2a+2 a=0 です。 ● ← (a^2)-2a+2 ● ← (a^2)+2a+2 ● ● ● ● ● ↑ ↑ a a+2 ゼロ （１） 区間[a,a+2]が、これより少しでも右にずれると、 ゼロ＜a となって、 x=a+2 で 最大値 f(a+2)=(a^2)+2a+2 。 （２） 区間[a,a+2]がこれより、少しでも左にずれると、 a＜ゼロ となって、 x=a で 最大値 f(a)=(a^2)-2a+2 。 a=ゼロ は場合わけの境界ですから、 （１）（２）どちらに属しても良いとなります。 ----------- 最小値の件は、等号で結ぶのではなく、 不等式を解く事になるので割愛しますが、 頂点が関与して境界は－１、１となるので、 ３通りの場合分けになります。
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> 何故区間内の最大値/最小値を求めるときに、区間の最小値の時の関数と最大 > 値の時の関数を等しくするのですか？ まずこの考えが違います。 f(a+2)が最大で、f(a)で最小というのはありえます。 f(a+2)が最小で、f(a)が最大というのもありえます。 ですがf(a+2)が最大でf(1)が最小というケースもありますし、 f(a)が最大でf(1)が最小というケースもあります。 a = 1/2の時に最大・最小がどうなるのかを試してみると分かります。 > ですが、f(a)=f(a+2)とする意味が全然分かりません。 参考書が言いたかったのは、 『定義域a ≦ x ≦ a + 2』の中心が『y = x^2 - 2x + 2』の軸と重なる時のaの値を求めたい ということなんです。 「定義域の中心」が「放物線の中心」より左にあれば最大値はf(a)です（実際にグラフに描いて確認してください）。 「定義域の中心」が「放物線の中心」より右にあれば最大値はf(a + 2)です。 このように最大値が変わってしまうので、この2つのケースで場合分けします。 しかし、右か左かを分けるには、真ん中がどこか分からなければ分けようがありません。 だから「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる時のaの値を求めるんです。 放物線は左右対称ですから、「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なるなら、 両端の値f(a)とf(a+2)は同じ値になります（実際に図に描いて確認して下さい）。 だから 「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる → f(a) = f(a+2) となります。このf(a) = f(a+2)という方程式を解けば、 「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる時のaの値が求められます。 別にf(a) = f(a+2)を解かなくても、 『定義域a ≦ x ≦ a + 2』の中心はx = a + 1で、 これが『y = x^2 - 2x + 2』の軸x = 1と重なるから、 a + 1 = 1で、a = 0 つまり「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる時はa = 0 という風に考えることもできます。
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>xの範囲の最大値の時の関数と最小値の時の関数、つまり区間の両端を等式で > 結ぶことがどうして答えに繋がるのか見当が付きません。 両端のどっちかが最大だから、等しい時がその「どっちか」の境目ということ。
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