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二次関数の最大と最小

今晩は 参考書の説明ではよく分からないので教えてください。 ---------------------------------------------------------------------- 例題: 二次関数y=x^2-2x+2のa≦x≦a+2に於ける最大値を求めよ ---------------------------------------------------------------------- 解説: 下に凸型のグラフでの最大値を求める問題で、区間の両端が決め手となる。 関数をy=f(x)とおくと、f(a)=f(a+2)を満たすaの値が、場合分けの境界値になる y=x^2-2x+2=(x-1)^2+1 xの変域a≦x≦a+2の幅は2で一定 f(x)=x^2-2x+2とおくと f(a)=a^2-2a+2 f(a+2)=a^2+2a+2 f(a)=f(a+2)とすると、a=0 よって、 a<0のとき x=aで最大値a^2-2a+2をとる 0≦aのとき x=a+2で最大値a^2+2a+2をとる ---------------------------------------------------------------------- このようにありました。 ですが、f(a)=f(a+2)とする意味が全然分かりません。 xの範囲の最大値の時の関数と最小値の時の関数、つまり区間の両端を等式で 結ぶことがどうして答えに繋がるのか見当が付きません。 何故区間内の最大値/最小値を求めるときに、区間の最小値の時の関数と最大 値の時の関数を等しくするのですか? 宜敷御願い致します

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  • 回答No.3

 (最大値の時の関数)、(最小値の時の関数)   と書いてありますが、   これは 、(関数/変数)と見ると混乱します。 ---------  f(x)=(x^2)-2x+2 に、  x=0を代入すると、yの値は、f(0)=2  x=1を代入すると、yの値は、f(1)=1  x=2を代入すると、yの値は、f(2)=2 と表現されます。  各々の<数値/定数>を書く代わりに、  x=a を代入して、     f(a)=(a^2)-2a+2 ← <数値/定数>  x=a+2を代入して、     f(a+2)=(a^2)+2a+2 ← <数値/定数>  f(0),f(1),f(2)が数値/定数であると同様に、  f(a)もf(a+2)も数値/定数と見るのが、  自然な流れです。 ---------  曲線y=g(x)上の点Pのx座標がaとき、  y座標は、g(a)で、  P(a, g(a))と表現されのは判ると思います。  このとき、g(a)が(関数)とは感じないはずです。 ---------------  ただし、f(a)とf(a+2)を(関数)と見ても良いですが、  判り難く、微妙(ニュアーンスの違い)ですから、  今は(今回の問題では)、数値と見るのが賢明です。  ニュアーンスの違いがあるため、  テクストには明示的に書かれません。  関数/変数と見えるか、数値/定数と見えるか、  は無意識です。  多数の問題をこなす内に無意識の世界で、  数式を処理できるようになります。  無理に意識するのもスマートではないと思います。 ---------------   f(a)、f(a+2)を数値/定数と見ないと、  解説の意味は判りません。  数値/定数と見えれば、  解説は自明と思えるはずです。  f(a)=f(a+2)の意味は、  ふたつのyの値が等しい。  ふたつのyの値が等し時、当然ですが、  x=a、x=a+2で同じ最大値をとります。  そのaが幾らであるかの計算が、  f(a)=f(a+2)  (a^2)-2a+2= (a^2)+2a+2  a=0  です。  ● ← (a^2)-2a+2 ● ← (a^2)+2a+2   ●        ●               ●    ●        ● ↑           ↑  a           a+2 ゼロ (1) 区間[a,a+2]が、これより少しでも右にずれると、   ゼロ<a となって、  x=a+2 で 最大値 f(a+2)=(a^2)+2a+2 。 (2) 区間[a,a+2]がこれより、少しでも左にずれると、   a<ゼロ となって、  x=a で 最大値 f(a)=(a^2)-2a+2 。     a=ゼロ は場合わけの境界ですから、     (1)(2)どちらに属しても良いとなります。 -----------  最小値の件は、等号で結ぶのではなく、 不等式を解く事になるので割愛しますが、 頂点が関与して境界は-1、1となるので、 3通りの場合分けになります。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4
  • tekcycle
  • ベストアンサー率34% (1839/5289)

さっき書いておいたんで読んでみて下さい。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3700747.html グラフは当然描いた物として、 aを小→大と動かすと、最大値に関して、 右肩より左肩が高い→右肩と左肩の高さが同じ→左肩より右肩が高い と移り変わっていくことは明白ですね。(もっとも区間内に両肩がある場合ですが) 最大値を求めるときは、低い方の肩は要らないわけです。 だからどっちが高い方の肩なのか、が重要ということです。 つまりは、どっちが高いんですか?という幼稚園クラスの話を、厳密にどこからならどうなのか、とやっているわけです。

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  • 回答No.2
  • R_Earl
  • ベストアンサー率55% (473/849)

> 何故区間内の最大値/最小値を求めるときに、区間の最小値の時の関数と最大 > 値の時の関数を等しくするのですか? まずこの考えが違います。 f(a+2)が最大で、f(a)で最小というのはありえます。 f(a+2)が最小で、f(a)が最大というのもありえます。 ですがf(a+2)が最大でf(1)が最小というケースもありますし、 f(a)が最大でf(1)が最小というケースもあります。 a = 1/2の時に最大・最小がどうなるのかを試してみると分かります。 > ですが、f(a)=f(a+2)とする意味が全然分かりません。 参考書が言いたかったのは、 『定義域a ≦ x ≦ a + 2』の中心が『y = x^2 - 2x + 2』の軸と重なる時のaの値を求めたい ということなんです。 「定義域の中心」が「放物線の中心」より左にあれば最大値はf(a)です(実際にグラフに描いて確認してください)。 「定義域の中心」が「放物線の中心」より右にあれば最大値はf(a + 2)です。 このように最大値が変わってしまうので、この2つのケースで場合分けします。 しかし、右か左かを分けるには、真ん中がどこか分からなければ分けようがありません。 だから「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる時のaの値を求めるんです。 放物線は左右対称ですから、「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なるなら、 両端の値f(a)とf(a+2)は同じ値になります(実際に図に描いて確認して下さい)。 だから 「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる → f(a) = f(a+2) となります。このf(a) = f(a+2)という方程式を解けば、 「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる時のaの値が求められます。 別にf(a) = f(a+2)を解かなくても、 『定義域a ≦ x ≦ a + 2』の中心はx = a + 1で、 これが『y = x^2 - 2x + 2』の軸x = 1と重なるから、 a + 1 = 1で、a = 0 つまり「定義域の中心」が「放物線の中心」と重なる時はa = 0 という風に考えることもできます。

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  • 回答No.1
  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)

>xの範囲の最大値の時の関数と最小値の時の関数、つまり区間の両端を等式で > 結ぶことがどうして答えに繋がるのか見当が付きません。 両端のどっちかが最大だから、等しい時がその「どっちか」の境目ということ。

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