二次関数でyの最大値、最小値の求め方。

質問

aを定数とするとき、
xの二次関数 y=x^2 - 2ax - 2x + a^2 + 2a
について、区間 0 ≦ x ≦ 2 におけるyの最小値、最大値をaで表しなさい。

因数分解をして、
y = ｛ x - (a+1) ｝^2 -1
となって、x軸=a+1 となったのですが、
ここからが分かりません。

解答は
a+1≦1のとき、x=2で最大値a^2-2a
a+1〉1のとき、x=0で最大値a^2+a
とありますが、なぜa+1≦1のときと判断出来るのでしょうか。
まだx=0を式に当てはめればa^2+aはでてくるのでしょうか。

宜しくお願いします。

回答No.1

KEIS050162

グラフを書いてみれば一目瞭然となります。

y = ｛ x - (a+1) ｝^2 -1

は、因数分解ではなく、平方完成といいます。これにより、二次関数のグラフの頂点と軸が分かります。

軸は、ｘ＝ａ＋１　で　頂点は、（ａ＋１，－１）　となります。
Ｘ＾２の係数が正なので、これは、頂点が下に凸となる放物線になることが分かり、これで最小値が分かります。

ａの値によって何が変わるか？　⇒　グラフの軸が左右に移動します。

グラフの軸が左右に移動するということは、変域０≦ｘ≦２の領域の両端（即ちｘ＝０、ｘ＝２の時）のｙの値が変わることに注目してください。

変域内の中央はｘ＝１の時ですから、これより左側に移動すると、最大値はｘ＝２の時になり、
これより右側に移動すると、最大値はｘ＝０の時になります。

なので、軸がセンターより右か左か、即ち、ａ＋１≦１　か　０＜ａ＋１　かで条件を分けているのです。

教科書・参考書にもう少し詳しい解説が載っているはずなので、よく復習しておいてください。
パターンとしては、変域が固定で、軸が移動するものと、
軸が固定で、変域が移動するケースがありますので、両方良く復習しておいてください。

ご参考に。