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二次関数の最大・最小

高校数学の、最大最小の問題に苦しんでいます。 xが0≦x≦5の範囲を動くとき、関数F(x)=-x^2+ax-aの最大値は3である。定数aの値を求めよ。 この問題が解けません。 教えて頂くと大変ありがたいです。

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  • 回答No.3
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

なるほど。平方完成はしたものの、その先うまくいかないのですね。 f(x)= -x^2 + ax - a  = -(x-a/2)^2 + a^2/4 - a よって、頂点の座標は、(a/2,a^2/4-a) よって、xの範囲にa/2が含まれていれば、 最大値は、a^2/4 - a です。 a^2/4 - a = 3 としてみると、 a^2 - 4a - 12 = 0 (a+2)(a-6)=0 a=-2または6 しかし、xの範囲は 0≦x≦5 なので、 a=-2のほうは「xの範囲にa/2が含まれていれば」という条件に沿いません。 よって、a=6 ・・・こんな感じで解くのではないでしょうか。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 参考にして、自分で解いてみます。

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  • 回答No.5
  • areajk
  • ベストアンサー率30% (6/20)

平方完成をしているということですので、aで表された軸と頂点がでていますよね。 で、そもそもこの関数はxの二次の係数が「負」ですので、グラフは上に凸。 その「頂点」というと・・・・・。 幸い、f(0)とf(5)の間に「頂点」があるようですね。 「頂点」というぐらいですから何か意味があるんでしょう。 最大値は3ですよね・・・・。

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  • 回答No.4
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)

グラフで考えれば分かりやすいでしょう。 y=F(x)=-{x-(a/2)}^2 +{a(a-4)/4} この上に凸の放物線のグラフの軸「x=a/2」に注目して場合分けして下さい。 a/2<0の場合最大値F(0) 0≦a/2≦5の場合最大値F(a/2) a/2>5の場合F(5) となりますので 各場合で最大値=3とおいてその時のaが場合のaの範囲を満たしているかを確かめてください。 適するaの値をまとめればいいでしょう。 (a=-3,6がでてくればOK) 分からなければ補足に解を書いて質問して下さい。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 参考にして、自分で解いてみます。

  • 回答No.2

F(x)の頂点をaであらわすとわかると思いますよ。頂点の位置とxの範囲の関係に注意してください。

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  • 回答No.1
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

教えてあげたいのですが・・・ http://faq.okwave.jp/EokpControl?&tid=607824&event=FE0006

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質問者からの補足

すいません。言葉足らずでした。 考え方としては、鉄則として平方完成したのですが、その後の最大最小をうまく求められないのです。 予想ですが、グラフを動かして場合わけを自分ではしたいのですが、出題の意味さえも掴みかねている状態です。

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