二次関数の最大・最小

質問

高校数学の、最大最小の問題に苦しんでいます。

xが0≦x≦5の範囲を動くとき、関数F（x）＝-x^2+ax-aの最大値は3である。定数aの値を求めよ。

この問題が解けません。
教えて頂くと大変ありがたいです。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

なるほど。平方完成はしたものの、その先うまくいかないのですね。

ｆ（ｘ）＝ －ｘ^2 ＋ ａｘ － ａ
　＝　－（ｘ－ａ／２）^2 ＋ ａ^2／４ － ａ
よって、頂点の座標は、（ａ／２，ａ^2／４－ａ）
よって、ｘの範囲にａ／２が含まれていれば、
最大値は、ａ^2／４ － ａ　です。
ａ^2／４ － ａ　＝　３　としてみると、
ａ^2 － ４ａ － １２ ＝ ０
（ａ＋２）（ａ－６）＝０
ａ＝－２または６
しかし、ｘの範囲は　０≦ｘ≦５　なので、
ａ＝－２のほうは「ｘの範囲にａ／２が含まれていれば」という条件に沿いません。
よって、ａ＝６

・・・こんな感じで解くのではないでしょうか。

お礼

ありがとうございます。
参考にして、自分で解いてみます。

回答No.5

areajk

平方完成をしているということですので、aで表された軸と頂点がでていますよね。
で、そもそもこの関数はxの二次の係数が「負」ですので、グラフは上に凸。
その「頂点」というと・・・・・。
幸い、f(0)とf(5)の間に「頂点」があるようですね。
「頂点」というぐらいですから何か意味があるんでしょう。
最大値は３ですよね・・・・。

回答No.4

info22

グラフで考えれば分かりやすいでしょう。
y=F(x)=-{x-(a/2)}^2 +{a(a-4)/4}
この上に凸の放物線のグラフの軸「x=a/2」に注目して場合分けして下さい。
a/2＜0の場合最大値F(0)
0≦a/2≦5の場合最大値F(a/2)
a/2＞5の場合F(5)
となりますので
各場合で最大値=3とおいてその時のaが場合のaの範囲を満たしているかを確かめてください。
適するaの値をまとめればいいでしょう。
（a=-3,6がでてくればOK）

分からなければ補足に解を書いて質問して下さい。

お礼

ありがとうございます。
参考にして、自分で解いてみます。

回答No.2

17321732

F(x)の頂点をaであらわすとわかると思いますよ。頂点の位置とxの範囲の関係に注意してください。

回答No.1

sanori

教えてあげたいのですが・・・
http://faq.okwave.jp/EokpControl?&tid=607824&event=FE0006

補足

すいません。言葉足らずでした。

考え方としては、鉄則として平方完成したのですが、その後の最大最小をうまく求められないのです。
予想ですが、グラフを動かして場合わけを自分ではしたいのですが、出題の意味さえも掴みかねている状態です。