2次関数の最大・最小

質問

数Ⅰで，2次関数の最大・最小値の問題があるのですが，例えば
「y=x^2 (-1＜x＜2)」の最大・最小値を求める問題の答えは，
「最小値0 (x=0)，最大値なし」になると思います｡
でも，最大値は「書けない」だけであって存在はしている(4を超えない最大の数)じゃないかと思い…
これは数Ⅰの範囲で書けないから「なし」となっているのか，どこまで数学を極めても「なし」なのか教えてください｡
分かりにくかったらすいません｡

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

この場合、ｙのとり得る値は
0≦ｙ＜4
となりますね。
ここでｙの最小値は0（x＝0のとき）は納得できるのですが
「最大値はない」が納得できないのですね。

4よりも小さく、4に一番近い実数があればそれを「最大値」とできるのですね。しかし、そのような「4よりも小さく、4に一番近い実数」は存在しないのです。書けないのではないのです。

次に、存在しない事を確かめましょう。背理法で証明します。
4よりも小さく、4に一番近い実数
が存在すると仮定し、それをnとします。
このとき、m=(n+4)/2という実数を考えますと、このmは
n＜m＜4を満たします。
このことは、nが「4よりも小さく、4に一番近い実数」であったことに矛盾します。
（矛盾の原因は「4よりも小さく、4に一番近い実数が存在すると仮定した」ことにあるのです）
したがって4よりも小さく、4に一番近い実数は書けないのではなく存在しないのです。

お礼

なるほど…理屈の上では納得できた気がします‼︎
でもなんか3〜4の間にありそうって思っちゃいます(笑)
ありがとうございました‼︎

回答No.4

kiha181-tubasa

他の回答に物申すのはマズイかと思いましたが……
0.99999……＝１
はご存知ですか。
0.99999……≒１ではなく，0.99999……＝１（本当に等しい）
のです。

その理由は以下のとおり。
1/3＝0.333333……
ですね。この両辺を３倍しますと
(1/3)*3=(0.333333……)*3
1=0.9999……
（正式な証明は無限級数でするのが普通ですが，わかりやすい話として書いてみました）

それで
3.9999……＝3+0.99999……＝3+1＝４
なのです。

お礼

ありがとうございます♪

回答No.3

Nakay702

「条件」によって解が変ってきますね。以下のとおりです。

条件１：「整数で表せる最大・最小値」なら、「最小値0、最大値３」となりますね。
条件２：「実数で表せる最大・最小値」なら、「最小値0、最大値３.99999...」となります。

なぜなら、「実数」とは「有理数＋無理数」ですが、その「有理数」は「分数＋有限小数＋循環無限小数」で、「実数」には「循環無限小数」が含まれるからです。（なお、「無理数」は循環しない無限小数。）

注：小数部分の周期的な数列の中で最小の長さの部分を「循環節」と言います。例えば、0.123123123…の循環節は123です。そこで、３.99999...の循環節は最小の数列 9 となります。

ということで、「最大・最小値」が「実数で表せる数であること」という条件なら、
「最大値は、３.99999...である」と言えるはずです。

お礼

ありがとうございます‼︎
ただ3.9999…=4ではないでしょうか⁉︎

回答No.2

kiha181-tubasa

No.1です。補足です。
理屈っぽくなってしまいましたが
ニュアンスとしては
小さい方から４にいくらでも近づけるから、「「これがいちばん４に近い数で、これ以上４に近い数はない」という数」がないということを述べたのでした。
（もしこんな数があれば最大値なんですけどね）

お礼

ありがとうございます♪