2変数関数の最大値、最小値の求め方について

質問

2変数関数の最大値、最小値の求め方についてお教えください。

f(x,y) = sin(x)sin(y)sin(x+y) について、変数の範囲が

0 ≦ x ≦ π , 0 ≦ y ≦ π/2

の場合の最大値、最小値を求めよ。

範囲が指定されている場合の最大、最小についての解き方がわからないのでよろしくお願致します。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

数III であれば、実質的には同じでも、表面上は
偏微分や勾配を使わず、「予選決勝法」と表現することになる。
f(x,y) の x を固定して、g(y) = f(x,y) を y の関数と見る。
g'(y) = (sin x)sin(x+2y) を計算して、増減表を書けば、
max(g) = g( (π-x)/2 ) = (sin x)( 1+(cos x) )/2,
min(g) = min｛g(0), g(π/2)｝= min｛0, (sin 2x)/2｝.
であることが解る。これらが、予選勝者。
後は、これらを x の関数と見て、
U(x) = max(g) の最大値と
L(x) = min(g) の最小値を求めればよい。
U(x) の最大値は、単に微分して増減を調べれば解る。
L(x) の最小値は、グラフの形を考えれば済む。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.3

info22_

2変数関数の偏微分係数を使うやり方をしても良ければ

参考URLのやり方を使えなよい。
その場合
fx(x,y)=fy(x,y)=0となる停留点候補は
0 ≦ x ≦ π , 0 ≦ y ≦ π/2 より (x,y)=(π,0),(0,0),(π/3,π/3),(2π/3,π/2)

(x,y)=(π,0),(0,0)の時
fxx=0,Δ=fxxfyy-fxy^2=0,f=0(最大値でも最小値でもない)

(x,y)=(π/3,π/3)の時
fxx=-√3<0,Δ=fxxfyy-fxy^2=9/4>0,f=(3/8)√3(極大値かつ最大値)

(x,y)=(2π/3,π/2)の時
fxx>√3>0,Δ=fxxfyy-fxy^2=3/4>0,f=-(√3)/4(極小値かつ最小値)

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node89.html

お礼

回答ありがとうございました

回答No.2

mister_moonlight

ごく普通の2変数の問題なんだが、変域の取り方がいやらしい。
微分を使わなければならなくなりそうだ。

sin(x)sin(y)＝(1/2)*{COS(x-y)-COS(x+y)}だから、Ｐ＝sin(x)sin(y)sin(x+y) とすると、
2Ｐ＝(sin(x+y))*{COS(x-y)-COS(x+y)}。0≦x+y≦3π/2.－π/2≦x-y≦π。
｜COS(x-y)｜≦1だから　x+y＝α　とすると　0≦α≦3π/2　　　　　　　　
-(sinα)*{1＋COSα}≦2Ｐ≦(sinα)*{1-COSα)}。
ここで、(sinα)*{1-COSα)}の最大値と　-(sinα)*{1＋COSα}の最小値を　0≦α≦3π/2の条件で求める事になる。
(sinα)*{1-COSα)}　や　-(sinα)*{1＋COSα}　が常に非負なら2乗を考えてもいいんだが、常に非負ではないから、微分しかないか。

とすると　これから先は　単純な三角の微分の問題だから　自分でできるだろうが、これは数IIIの問題？
私が、他の方法に気がついてないだけなのか？

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

Tacosan

範囲が指定されていなければ全く問題なし, ですか?

お礼

回答ありがとうございました