数学の問題で分からないのがあります。

質問

(1)2次関数y=x^2-4x+4 (-1≦x≦3)の最大値、最小値を求めてください。（途中式もお願いします。）

(2)aは定数とする。2次関数y=x^2-2ax+3の1≦x≦2における最小値を求めてください。（途中式もお願いします。）

(3)aは定数とする。２次関数y=x^2-2x+2のa≦x≦a+1における最小値m(a)を求めてください。（途中式もお願いします。）

回答No.1

KEIS050162 · ベストアンサー

この問題も、平方完成で軸の式、頂点を求めれば、簡単に解けます。
１）２）３）とも、ｘ＾２の係数が正なので、これらのグラフは下に凸、即ち、軸の座標で最小値となることが分かります。
まずは、平方完成してグラフを書き、定義されている範囲の左、右端に縦線を書いてみてください。

１）　平方完成して、軸の座標を求めてください。軸がｘの範囲内であれば、軸の座標が最小値となります。
（この問題のケースではそうなります）

もし、軸が範囲より左側であれば、範囲の最左端（ｘ＝－１の時）が最小値、右側であれば最右端（ｘ＝３の時）が最小値になります。

２）これは平方完成すれば分かりますが、軸がｘ＝ａとなり未知数になっています。
なので、aが範囲の左側から外れている（ａ＜１）か、右側から外れている（ａ＞２）か、その中にいるか（１≦ａ≦２）かで最小値の判定が変わります。（１）が分かれば、あとは分かりますね？）

３）このケースは、グラフは固定されていますが、範囲が未知数になっています。しかし、考え方は２）と一緒で、軸が範囲の外側（左右）か、中かの条件分けをします。

軸の式はｘ＝１になりますので、ａ＜０　（軸が右に外れる）、ａ＞１（軸が左に外れる）、０≦a≦１（軸が範囲の中）で条件を分けます。最小値の求め方は上と同じ。

ご参考に。

回答No.2

bara2001

この手の問題は式だけいじっていても分かりませんよ。
式だけいじって答えられるのは、十分に慣れた人だけ。

グラフをお描きください。
そうすれば視覚的に答えが見えてきます。
(2)のような問題でも、パラメータａが混ざっていたところで、関数を平方完成させれば放物線の頂点の座標をａで表すことができます。

この一連の問題は、関数とグラフの関係を生徒に理解させるための出題です。
出題の仕方からそれがわかります。
だいたいすべての問題においてx^2の係数が1に固定されていて、もっとも基本的な放物線を扱ってます。つまり、そういうところで生徒をひっかけようとなどはしていません。
ならば、単純に答えだけを求めるのではなく、考え方を理解するように努力してください。
グラフと関数の関係がわかるようになると、数学はあっというまに楽になりますよ。