• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

二次関数の最大・最小についての問題です。

aは定数とする。次の問いに答えよ。 関数y=x^2+(2-2a)x+a^2 (-1≦x≦2)の最小値を求めよ。 という、問題です。 模範解答では、 a<0のときx=-1で最小値a^2+2a-1 0≦a≦3のときx=a-1で最小値2a-1 3<aのとき、x=2で最小値a^2-4a+8 となっています。 この答えは、正しいのでしょうか。 解説をお願いします。

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.3
noname#212313
noname#212313

> y=x^2+(2-2a)x+a^2 (-1≦x≦2)  こういう式では、y=(x-b)^2+cという形にしてしまうのが簡単です(そのまま微分しても分かるが、かなり面倒臭い)。y=(x-b)^2+cだと、x=bのとき最小値cだと分かります。  x^2+(2-2a)x+a^2 =x^2+(2-2a)x+((2-2a)/2)^2-((2-2a)/2)^2+a^2 =(x+(2-2a)/2)^2+((2-2a)/2)^2+((2-2a)/2)^2+a^2 =(x+(2-2a)/2)^2-((2-2a)/2)^2+a^2 =(x+(2-2a)/2)^2-(1-a)^2+a^2 =(x+(2-2a)/2)^2-(1-2a+a^2)+a^2 =(x+(2-2a)/2)^2-1+2a-a^2+a^2 =(x+(2-2a)/2)^2-1+2a =(x+(1-a))^2+2a-1 =(x-(a-1))^2+2a-1  2乗の項は0以上であるので、(x+(1-a))^2=0 ∴x+(1-a)=0の場合、最小値2a-1となる。  x-(a-1)=0 ∴x=a-1  -1≦x≦2より、-1≦a-1≦2 ∴0≦a≦3。  従って、0≦a≦3のとき、最小値2a-1。―(1)  0≦a≦3ではないとき、すなわちa<0、または、3<aのときは(x-(a-1))^2>0であり、最小値が異なる。  a<0のとき、下に凸な2次関数z=(x-(a-1))^2はx=a-1<-1で最小値であるが、x=-1より小さい側になるため、-1≦x≦2より、x=-1がyの最小になる。よって最小値は、与式にx=-1を代入して、  x^2+(2-2a)x+a^2 =(-1)^2+(2-2a)(-1)+a^2 =1-2+2a+a^2 =-1+2a+a^2 =a^2+2a-1 ―(2) (a<0のとき)  3<aのとき、同様にして、-1≦x≦2より、x=2がyの最小値を与えるので、  x^2+(2-2a)x+a^2 =2^2+(2-2a)・2+a^2 =4+4-4a+a^2 =8-4a+a^2 =a^2-4a+8 ―(3) (3<aのとき)

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 参考させていただきます。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • bran111
  • ベストアンサー率49% (512/1037)

正しい。 中心軸X=a-1が変域の中(-1≦a-1≦2)にある場合と左(a-1<-1)にある場合と右にある場合 (2<a-1)に分けて考えれば自明でしょう。この程度の問題は軽くこなしましょう。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。 とても参考になりました。

  • 回答No.1

>この答えは、正しいのでしょうか。 imnstkr さんはどう考えていますか? 二次関数を完全平方の形に変形して、 最小値について考えてみてください。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます。 参考にさせていただきます。

関連するQ&A

  • 2次関数の最大・最小

    問: 次の条件に適するように、定数aの値を求めよ。 (1)関数y=x^2-4x+a (1<=x<=5)の最大値が6である。 (2)関数y=-x^2+3x+a (-3<=x<=1)の最大値が4である。 (3)関数y=-x^2-4x+aの最大値が、関数y=x^2-4xの最小値と一致する。 答: (1)a=1 (2)a=2 (3)a=-8 解説して下さい!

  • 三角関数の最大値、最小値の問題

    三角関数の問題で分からないことがあるので質問します。 [問] 次の関数の最大値と最小値を求めよ。 y = 2tan^2θ + 4tanθ + 1 [-(π/2) < θ < (π/2)] ---- この問いに対して私はこのように答えました。 関数を変形して y = 2(tanθ+1)^2-1 tanθ = -1、つまりθ=3/4π, 7/4πで最小値-1 tanθ = 1、つまりθ=π/4, 5/4πで最大値7 ---- このように出しましたが、答え合わせをすると間違っていました。 回答集の答え tanθ = tとおくと-(π/2) < θ < π/2の範囲で、tanθは全ての実数値を取り得る。 yをtの式で表すと y = 2t^2 + 4t + 1 = 2(t+1)^2 - 1 故に、yはt = -1をとり、最大値はない。 t = -1となるのは、tanθ = -1から、θ = -(π/4) よってθ = -(π/4)のとき、最小値-1。最大値はない。 ---- 分かっている疑問点を書き出してみました。 イ:そもそも「-(π/2) < θ < π/2」がよく分からない。随って何故tanθが全ての実数値を取り得るのか分からない。 ロ:模範解答だと「tan = -1つまりθ = -(π/4)」となっている。θ=3/4π, 7/4πではないのか。 宜敷御願い致します。

  • 二次関数の最大、最小の問題教えてください((+_+))

    二次関数の最大、最小の問題教えてください((+_+)) (1)Y=x^2+2axの最小値が-9であるように定数aの値を求めよ。またこのとき最小値を与えるxの値を求めよ 二次関数の決定の問題です (2)x=-2のとき最大値5をとりx=-1のときY=0となる (3)x=3のとき最小値をとり2点(0,5)、(5,0)を通る二次関数を求めよ (4)放物線Y=2x^2-8x+9の頂点と同じであり点(0,5)を通る二次関数を求めよ (5)二次関数のぐらふがx軸と2点(-2,0)、(1,0)で交わり点(0,-4)を通る時その関数をもとめよ この問題わからないのでわかるかた求め方も一緒に教えてください

  • 2次関数の最大・最小の問題がわかりません><

    「y=x^2-2ax+6の-1≦x≦3における最小値が2のとき、定数aの値をもとめよ。」 という問題がわかりません。 解説を読んでもわからなかったので、なるべく細かく説明していただけるとたすかります。 おねがいします。

  • 二次関数の最大と最小

    二次関数の最大と最小 二次関数y=4x^2-2kx+3k-1の最小値をmとするとき、次の問いに答えよ 1)mをkの式で表せ 2)mをkの二次関数とみたとき、mの最大値を求めよ 二次関数y=x^2-2x+k(-1≦x≦2)の最大値が7であるとき、定数kの値を求めよ 詳しく説明お願いします!

  • 至急 2次関数 最大・最小

    関数y=2x2乗-4Kx+1(0≦x≦4)の最大値・最小値を求めなさい。 但しKは定数とする。 上記の問題の解答・解説を教えてください。 平方完成はできるので場合分けを重点的に教えてくださると嬉しいです。 ご回答よろしくお願いいたします。

  • 変域が変わる最大最小

    問題 y=x^2+4x+5(a≦x≦a+2)について最小値をm(a)、最大値をM(a)とするとき以下の問いに答えなさい。 1. m(a)を場合分けすることにより求めなさい。 2. M(a)を場合分けすることにより求めなさい。 3. M(a)の最小値を求めなさい。 ネットで見つけた問題です。解答がなく答えや解説がわかりません。 答え、解説を教えていただければ嬉しいです。🙇‍♂️

  • 2次関数の最大、最小

    aは定数とする。2次関数y=x2-2ax+3の1≦x≦2における最小値を求めよ。 お願いします(><)

  • 数学の最大値と最小値の問題なのですが…

    2次関数の最大値と最小値を求めよ。 y=-2x2乗-4x+3(-3≦x≦1) という問題なのですが、配布された解答プリントでは x=-1のとき最大値5、x=-3,1のとき最小値-3 とあります。 私はなんでこうなるのか 自分なりにノートを見直してもよく分かりません… 配布されるプリントの中には 時々、間違った答えが紛れていたりするので少し混乱しています(>_<) これで答えは合っているのでしょうか? 回答お願いしますm(_ _)m 解説もつけて頂けると嬉しいです…

  • 二次関数の最大・最小

    二次関数の最大・最小 全然分かりません!! 教えてください!! 関数y=-x?+ax-2aの最大値が5である 定数aの値を求めよ お願いします!!!!