三角関数の最大値、最小値の問題

質問

三角関数の問題で分からないことがあるので質問します。

[問]
次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y = 2tan^2θ + 4tanθ + 1 [-(π/2) < θ < (π/2)]
----
この問いに対して私はこのように答えました。

関数を変形して
y = 2(tanθ+1)^2-1

tanθ = -1、つまりθ=3/4π, 7/4πで最小値-1
tanθ = 1、つまりθ=π/4, 5/4πで最大値7
----
このように出しましたが、答え合わせをすると間違っていました。

回答集の答え
tanθ = tとおくと-(π/2) < θ < π/2の範囲で、tanθは全ての実数値を取り得る。
yをtの式で表すと y = 2t^2 + 4t + 1 = 2(t+1)^2 - 1
故に、yはt = -1をとり、最大値はない。
t = -1となるのは、tanθ = -1から、θ = -(π/4)
よってθ = -(π/4)のとき、最小値-1。最大値はない。
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分かっている疑問点を書き出してみました。

イ：そもそも「-(π/2) < θ < π/2」がよく分からない。随って何故tanθが全ての実数値を取り得るのか分からない。
ロ：模範解答だと「tan = -1つまりθ = -(π/4)」となっている。θ=3/4π, 7/4πではないのか。

宜敷御願い致します。

回答No.4

nattocurry · ベストアンサー

> 条件は0°から考えて90°から270°の間に限定しているということですか？

？？？
なぜ、そのようにひねくれた(ごめんなさい)変換をしてしまうのでしょうか？
なぜ、そのまま-90°から+90°というようにとらえられないのでしょうか？

そもそも、

> -90°というのがどうも分からないんですが

これがどういうことなのか、ちょっと解りません。
もしかして、0°より小さい角度は無いと思っていますか？

> でもそうすると単位円の中でy軸の左側半分しか範囲にならず、イで書いたようにtanθは全ての実数を取り得ないんじゃないかなとか考えているわけです。

-90°から+90°だと、y軸の右側半分の範囲ですね。
そして、
tan(-90°+dθ)＝tan(-π/2+dθ)＝-∞
tan(-45°)＝tan(-π/4)＝-1
tan(0°)＝tan0＝0
tan45°＝tan(π/4)＝1
tan(90°-dθ)＝tan(π/2-dθ)＝∞
となり、すべての実数を取り得ます。

また、90°から270°だとしても、
tan(90°+dθ)＝tan(π/2+dθ)＝-∞
tan135°＝tan(3π/4)＝-1
tan180°＝tanπ＝0
tan225°＝tan(5π/4)＝1
tan(270°-dθ)＝tan(3π/2-dθ)＝∞
となり、やはり、すべての実数を取り得ます。

お礼

tan(-90°+dθ)からtan(90°-dθ)までの対応表を造って戴いたのが効いたようで、教科書と参考書の最初の方から確認し直しました。

少しずつですが考え方は見えてきたように思います。有難う御座いました。

回答No.3

nattocurry

> この-(π/2) < θ < π/2という条件は、度数法で言うと「-45°から45°」という条件なんですか？

あぁ、そういうことですか。
π＝90°だと思っているようですね。
π＝180°ですよ。

なので、-(π/2) < θ < π/2　は、-90°から+90°という条件になります。

補足

そうですごめんなさい。
-90°から90°です。ちょっと別のことと間違えてました。
-90°というのがどうも分からないんですが、つまり問題文の
条件は0°から考えて90°から270°の間に限定しているということですか？
でもそうすると単位円の中でy軸の左側半分しか範囲にならず、
イで書いたようにtanθは全ての実数を取り得ないんじゃないかなとか考えているわけです。

回答No.2

info22

> イ：そもそも「-(π/2) < θ < π/2」がよく分からない。随って何故tanθが全ての実数値を取り得るのか分からない。
sinθやcosθと勘違いしていませんか？
tanθ=sinθ/cosθ
なので　θを0→π/2と増加していくと
tanθは　0/1=1　→　1/0=∞　まで変化する

同様に　θを0→-π/2 と減少していくと
tanθは　0/1=1　→　1/-0=-∞　まで変化する

y=tanθのグラフを今一度確認して下さい。

>ロ：模範解答だと「tan = -1つまりθ = -(π/4)」となっている。θ=3/4π, 7/4πではないのか。

> y = 2tan^2θ + 4tanθ + 1 [-(π/2) < θ < (π/2)]
問題にθの範囲が-(π/2) < θ < (π/2)指定してあるのに
この範囲内のθにおける最小値を求める問題で、
その範囲外のθの3/4π, 7/4πで正しい答えと主張するのですか？
どうかしていませんか？

回答No.1

nattocurry

> イ：そもそも「-(π/2) < θ < π/2」がよく分からない。随って何故tanθが全ての実数値を取り得るのか分からない。

もしかして、y = 2tan^2θ + 4tanθ + 1　だと　-(π/2) < θ < π/2　になる、だと思っていますか？
だとしたら、逆です。

-(π/2) < θ < π/2 という条件において、y = 2tan^2θ + 4tanθ + 1 の最大値と最小値を求めよ、という問題です。
-(π/2) < θ < π/2　は、出題者が提示した条件です。

> ロ：模範解答だと「tan = -1つまりθ = -(π/4)」となっている。θ=3/4π, 7/4πではないのか。

-(π/4)＝3/4π＝7/4πです。
そして、-(π/2) < θ < π/2 という条件があるので、-(π/4)以外に解はありません。

補足

>>もしかしてy = 2tan^2θ + 4tanθ + 1　だと　-(π/2) < θ < π/2　になるだと思っていますか？

いえ、模範解答からです。
-(π/2) < θ < π/2の範囲ではtanθは全ての実数値を取り得るということなんですよね？
この-(π/2) < θ < π/2という条件は、度数法で言うと「-45°から45°」という条件なんですか？