高1 数学 二次関数の最大・最小

質問

問: aは定数とする。関数y=x²－4x+3(a≦x≦a+1)の最大値を求めよ。
この問の解答では、場合分けの際、①a＜3/2 ②a=3/2 ③3/2＜2 というように、分数で場合分けされています。

しかし、別の問
問: aは定数とする。関数y=x²+6x+5(a≦x≦a+2)の最小値を求めよ。
では、①a＜－5 ②－5≦a≦－3 ③－3＜a というように、整数で場合分けされています。

上の問で、分数を使うのはなぜですか？

回答No.3

asuncion

一応、念のために、最小値を求める問題も解いておくと、
今度は、軸が定義域の右にあるのか、定義域の中にあるのか、定義域の左にあるのかによって場合分けします。
g(x) = x^2 + 6x + 5（a ≦ x ≦ a + 2)の最小値を求める。
g(x) = (x + 3)^2 - 4と平方完成できるから、軸はx = -3
[1]軸が定義域の右にあるとき、つまりa + 2 ≦ -3よりa ≦ -5のとき
g(x)の最小値は軸x = -3に近いg(a+2) = (a + 5)^2 - 4 = a^2 + 10a + 21
[2]軸が定義域の中にあるとき、つまりa ≦ -3 ≦ a + 2より
-5 ≦ a ≦ -3のとき
g(x)の最小値は軸のy座標である-4
[3]軸が定義域の左にあるとき、つまり-3 ≦ aのとき
g(x)の最小値は軸x = -3に近いg(a) = a^2 + 6a + 5

要は、最大値を求めるから場合分けが分数になるとか
最小値を求めるから場合分けが分数にならない、とかいうこと「ではない」ってことです。

お礼

詳しくありがとうございます🙇‍♀️

回答No.2

asuncion

おっとtypoが。
＞[1]軸x = 2が、定義域のちょうど中間にあるとき、つまり2 = a + 1/2よりa = 3/2のとき
f(x)の最大値は、x = a, a + 1のとき、f(a) = f(a+1) = a^2 - 4a + 3 = (a + 1)^2 - 4(a + 1) + 3 = -3/4です。3/4ではないです。

回答No.1

asuncion

＞上の問で、分数を使うのはなぜですか？

定義域の幅が1だから。
y = f(x)の最大値は、定義域の左端のときにとるか右端のときにとるかのいずれかです。
f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x - 2)^2 - 1と平方完成できるから、
軸x = 2と定義域a ≦ x ≦ a + 1の位置関係を調べます。
場合分けがちょっと前後しますけど、考え方は以下のとおりです。
[1]軸x = 2が、定義域のちょうど中間にあるとき、つまり2 = a + 1/2よりa = 3/2のとき
f(x)の最大値は、x = a, a + 1のとき、f(a) = f(a+1) = a^2 - 4a + 3 = (a + 1)^2 - 4(a + 1) + 3 = 3/4
[2]軸x = 2が定義域a ≦ x ≦ a + 1のちょうど中間よりも右側にあるとき、つまりa + 1/2 < 2 よりa < 3/2のとき
f(x)の最大値はf(a) = a^2 - 4a + 3（∵x = aの方が軸より遠いから）
[3]軸x = 2が定義域a ≦ x ≦ a + 1のちょうど中間よりも左側にあるとき、つまりa + 1/2 > 2よりa > 3/2のとき
f(x)の最大値はf(a+1) = (a + 1)^2 - 4(a + 1) + 3 = a^2 - 2a（∵x = a + 1の方が軸より遠いから）