「定義域０≦x≦aにおいて、関数 y=x~2-2x-3 の最大値、最小

質問

「定義域０≦x≦aにおいて、関数 y=x~2-2x-3 の最大値、最小値を求めよ。」という問題について、
解答では、(i）0<a≦1, (ii）1<a<2、 （iii）a=2、 （iv）2<a

のそれぞれについて、場合分けしてあるわけですが、この（iii）、（iv）は変えず、(i）を、0<a<1, (ii）を1≦a<2と、場合分けして解いても良いのでしょうか?

また、解答の(i）0<a≦1　で場合分けした時、最小値は、a^2-2a-3　となっていますが、a=1　のとき
最小値―４　となるので、この場合の答えは、

　0<a<1　のとき　最小値は、a^2-2a-3　,　a=1　のとき　最小値―４　

が、正しいのではないでしょうか？

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞この（iii）、（iv）は変えず、(i）を、0<a<1, (ii）を1≦a<2と、場合分けして解いても良いのでしょうか?

はい。解いていく過程では、それでも良いです。
x~2-2x-3　は、ｘ＝ａ　の部分で連続していますからね。

＞＞＞また、解答の(i）0<a≦1　で場合分けした時、最小値は、a^2-2a-3　となっていますが、a=1　のとき
＞＞＞最小値―４　となるので、この場合の答えは、
＞＞＞　0<a<1　のとき　最小値は、a^2-2a-3　,　a=1　のとき　最小値―４　
＞＞＞が、正しいのではないでしょうか？

あなたの考えが数学的に間違いだということではありません。
しかし、
ａ＝１　のとき
－４　＝　１^2　－　２×１　－　３　＝　ａ^2　－　２ａ　－　３
です。
ａ＝１　を分離する必要がありません。
ですから、０＜ａ＜１　と　ａ＝１　は一まとめにすることができます。

場合分けの種類をなるべく少なくするのが、美しい回答とされているようです。

お礼

御回答有り難う御座います。補足質問にもお答え頂けると、有り難い限りです。

補足

回答者様の御回答の文中の、
＞はい。解いていく過程では、それでも良いです。
　x^2-2x-3　は、ｘ＝ａ　の部分で連続していますからね。

の部分に出で来る“連続”とは、数IIIの「関数の極限」のところで出て来る“連続”の事で、ｘ＝ａを境に、関数 y=x^2-2x-3 　は、離れておらず、くっついているから良い、　という事でしょうか？

回答No.3

sanori

まいどっ　＾＾

＞＞＞
回答者様の御回答の文中の、
＞はい。解いていく過程では、それでも良いです。
　x^2-2x-3　は、ｘ＝ａ　の部分で連続していますからね。
の部分に出で来る“連続”とは、数IIIの「関数の極限」のところで出て来る“連続”の事で、ｘ＝ａを境に、関数 y=x^2-2x-3 　は、離れておらず、くっついているから良い、　という事でしょうか？

はい。そうです。
y(x) = x^2-2x-3 と表すことにして、
lim[x⇒a（左から）] y(a)　＝　lim[x⇒a（右から）] y(a)　＝　y(a)

お礼

御回答有り難う御座いました。また、会える機会が有ると良いですね！！私も、sanori様が困った時が有って、私が回答できるときはお答えして行きたいです。

回答No.1

ksg0121

1つ目の質問について：この問題の場合はそのように場合分けしても問題ないです。
2つ目の質問について：a=1のときa^2-2a-3=-4なので、回答するときは通常１つにまとめてしまいます。

お礼

御回答有り難う御座いました。