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lim(x→∞)x^p/e^x = 0 はなぜ?

lim(x→∞)x^p/e^x = 0  と参考書に書いてあったのですが、理由は書いてありませんでした。なぜこういえるのでしょうか? よろしくお願いします。

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  • info22
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回答No.2

不定形の極限値を求める方法に、ロピタルの定理(参考URL)を使う方法が あります。(大学受験では使えない可能性があります。) 質問の問題は∞/∞型の不定形の極限値を求める問題ですから pが正整数の場合 ロピタルの定理をp回使うと 分子は定数p!になり、分母はe^xのままですから、 定数/∞型となってゼロに収束します。 ロピタルの定理が使えないなら e^xのマクローリン展開 e^x=1+x+x^2/2!+・・・+x^p/p!+x^(p+1)/(p+1)!+・・・ をx>0のもと、過少評価して e^x>x^(p+1)/(p+1)!>0 逆数をとって 1/e^x<x^(-p-1) x^pをかけて極限をとると 0<x^p/e^x=1/x→0 (x→∞) (挟み撃ち法) (証明終わり)

参考URL:
http://doraneco.com/physics/lecture/math/lHospital.html
nabewari
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 なるほど、ロピタルの定理を使うと簡単ですね。

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その他の回答 (1)

  • notnot
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回答No.1

e^xを無限級数で表現するとわかると思います。

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