lim[x→0](e^x-e^sinx)/x^3の極限値を求める問題

質問

lim[x→0](e^x-e^sinx)/x^3の極限値を求める問題
分母と分子をe^xで割ったりしているのですが、上手く展開できません。どのように考えればよろしいのでしょうか？アドバイスの程お願い致します。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

x=0のまわりのテーラー展開により
sinx=x-x^3/6+x^5/30-...
∴
lim[x→0](e^x-e^sinx)/x^3=lim[x→0](e^x-e^(x-x^3/6+x^5/30-...))/x^3
=lim[x→0]e^x(1-e^(-x^3/6+x^5/30-...))/x^3

x=0のまわりのテーラー展開により
e^(-x^3/6)=1-x^3/6+x^6/72-...
∴
=lim[x→0]e^x(1-(1-x^3/6+x^6/72-...)e^(x^5/30-...))/x^3
=lim[x→0]e^x(x^3/6-x^6/72+...)e^(x^5/30-...))/x^3
=lim[x→0]e^x(1/6-x^3/72+...)e^(x^5/30-...))
=1/6

お礼

spring135様ありがとうございます。テーラー展開について調べて、再度考えてみたいと思います。尚、ロピタルの定理により、解を求めることができました。ありがとうございました。

回答No.3

info22_

過去の質問（2009.7.13）に全く同じものがあり、ベストアンサーの回答が付いています。

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1328265463
この１番目の問題、ベストアンサー
をご覧下さい。

お礼

info22_様ありがとうございます。ロピタルの定理について調べました。ロピタルの定理により、解を求めることができました。ありがとうございました。

回答No.1

mazimekko3

ロピタルの定理を複数回適用する。

お礼

mazimekko3様ありがとうございます。ロピタルの定理について調べました。ロピタルの定理により、解を求めることができました。ありがとうございました。