lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問

質問

lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}の極限値を求める問題

lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}
=lim[x→0][{(sinx)^2-x^2}/x^2(sinx)^2]
=lim[x→0]{(sinx+x)(sinx-x)/x^2(sinx)^2}
=lim[x→0]{(1+sinx/x)/xsinx}{(sinx/x-1)/xsinx}
のように展開してみましたが、上手く展開できません。どのように考えればよろしいのでしょうか？アドバイスの程お願い致します。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

(1+sin(x))/x　× (x-sin(x))/x^3 × x^2/sin^2(x)
と変形します。
左の式の極限は 2
右の式の極限は 1
中の式は、ロピタルの定理を使います。

ほとんど同じことですが、テイラーの定理で
sin(x) = x - x^3/3! + O(x^5)
を用いても計算できます。

補足

Anti-Giants様ありがとうございます。自分なりに考えてみました。
「(1+sin(x))/x　× (x-sin(x))/x^3 × x^2/sin^2(x)と変形します。」とございますが、
・(sin(x)+x)/x　× (sin(x)-x)/x^3 × x^2/sin^2(x)・・・(1)
または、
・(sin(x)-x)/x　× (sin(x)+x)/x^3 × x^2/sin^2(x)・・・(2)
になると思います。
ここで、(1)の第１項の極限は２、(2)の第１項の極限は０となります。
また、(1)、(2)の第２項の極限はロピタルの定理より、1/6となり、、(1)、(2)の第３項の極限は１となります。
ここで、、(1)、(2)の第１項の極限値の違いにより、解が異なるのですがどのように考えれば良いのでしょうか？
お手数おかけ致しますが、アドバイスいただければと思います。宜しくお願い致します。

回答No.9

alice_44

これは、失礼。
平均値定理を使ったら、
1/x↑2 - 1/(sin x)↑ = (-2/c↑3)(x - sin x) = -2(x/c)↑3・(x - six x)/x↑3
ですよね。

ここから sin x をマクローリン展開すれば、
与式 → -2・1・1/6 が判るけれど、
途中から級数展開するくらいなら、
最初から 1/(sin x)↑2 をローラン展開
したほうが、スマートですね。

何にせよ、誤答失礼しました。

回答No.8

178-tall

まちがいさがしの続編。
支配項の勘定で完全に錯乱してました。混乱させて、失礼。

手遅れながら支配項訂正版をメモっておきます。(転記ミス予防のため、くどい下書きのまま)

　sin(x) ≒ x - x^3/6 = x{1 - (x^2)/6}
なので、
　1/x^2 - 1/{sin(x)}^2
　≒ [{1 - (x^2)/6}^2 - 1]/[x{1 - (x^2)/6}]^2
　≒ {(-1/3)x^2}{1 - (x^2)/12}/x^2{1 - (x^2)/3}
　= (-1/3){1 - (x^2)/12}/{1 - (x^2)/3}

回答No.7

info22_

#6です。

A#6の補足について

>アドバイスの１２行目～１３行目の展開で、
>>=-lim[x→0] 1/[1+{(x^2)/(1-cos(x))}]
>>=-lim[x→0] 1/[1+{2x/(1+sin(x))}] (ロピタルの定理適用)
>とございますが、

>=-lim[x→0] 1/[1+{(x^2)/(1-cos(x))}]
>=-lim[x→0] 1/{1+2x/sin(x)}(ロピタルの定理適用)
>ではないでしょうか？

失礼しました。指摘の通りです。
指摘の式の通りに訂正して下さい。

回答No.6

info22_

lim[x→0] {(1/x^2)-(1/(sin(x))^2)}
=lim[x→0] {(sin(x))^2-x^2}/{x^2(sin(x))^2}
=lim[x→0] (sin(x)+x)(sin(x)-x)/{(x^2)(1+cos(x))(1-cos(x))}
=lim[x→0] [{1+(sin(x)/x)}/{1+cos(x)}][{sin(x)-x}/{x(1-cos(x))}]
=lim[x→0] [{1+(sin(x)/x)}/{1+cos(x)}]*lim[x→0] [{sin(x)-x}/{x(1-cos(x))}]
=(2/2)lim[x→0] {sin(x)-x}/{x(1-cos(x))}
=lim[x→0] {sin(x)-x}/{x(1-cos(x))}
=lim[x→0] {cos(x)-1}/{1-cos(x)+x*sin(x)} (ロピタルの定理適用)
=-lim[x→0] 1/[1+{x*sin(x)/(1-cos(x))}]
=-lim[x→0] 1/[1+{sin(x)/x}/{(1-cos(x))/(x^2)}]
=-lim[x→0] 1/[1+1/{(1-cos(x))/(x^2)}]
=-lim[x→0] 1/[1+{(x^2)/(1-cos(x))}]
=-lim[x→0] 1/[1+{2x/(1+sin(x))}] (ロピタルの定理適用)
=-lim[x→0] 1/[1+{2/((1+sin(x))/x)}]
=-lim[x→0] 1/[1+{2/(cos(x)/1)}] (ロピタルの定理適用)
=-lim[x→0] 1/[1+{2/cos(x)}]
=-1/{1+(2/1)}
=-1/3

補足

info22_様ありがとうございます。大変参考になりました。アドバイスの１２行目～１３行目の展開で、
=-lim[x→0] 1/[1+{(x^2)/(1-cos(x))}]
=-lim[x→0] 1/[1+{2x/(1+sin(x))}] (ロピタルの定理適用)
とございますが、
=-lim[x→0] 1/[1+{(x^2)/(1-cos(x))}]
=-lim[x→0] 1/{1+2x/sin(x)}(ロピタルの定理適用)
ではないでしょうか？
全体的な展開が大変参考となりました。ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

まちがいさがし。

>im の中身を、
>　1/x^2 - 1/(sinx)^2 = {(sinx + x)/(xsinx)} + {(sinx - x)/(xsinx)}
>　= {(sinx/x) + (x/sinx)}*{(sinx/x) - (x/sinx)}
>と変形 .......

　1/x^2 - 1/(sinx)^2 = {(sinx + x)/(xsinx)}*{(sinx - x)/(xsinx)}
　 　　　　　　　　　= {(sinx/x) + (x/sinx)}*{(sinx/x) - (x/sinx)}
でした。

補足

178-tall様ありがとうございます。自分なりに何度か計算を試みたのですが、アドバイスいただきましたように
1/x^2-1/(sinx)^2={(sinx+x)/(xsinx)}{(sinx-x)/(xsinx)}
={(sinx/x)+(x/sinx)}{(sinx/x)-(x/sinx)}
と展開できません。
もしよろしければ、展開の途中経過についてアドバイスいただければと思います。

回答No.4

alice_44

４行目に間違いがあって、

(sinx + x)(sinx - x) / { x^2 (sinx)^2 }
= { (1 + sinx/x) / sinx }{ (sinx/x - 1) / sinx }

のハズだけど、ここを直しても行き詰っていることに変わりはない。

1/t^2 に sin x < t < x で平均値定理を適用して、
1/x^2 - 1/(sin x)^2 = (-1/c)(x - sin x) ただし sin x < c < x
は、どうだろう。

x → 0 のとき、(sin x)/x < c/x < 1 より c/x → 1 だから、
1/x^2 - 1/(sin x)^2 = (-x/c){ 1 - (sin x)/x } → (-1)・{ 1 - 1 } = 0。

補足

alice_44ありがとうございます。自分なりに再考してみます。ただ、他の人のアドバイスを拝見すると、-1/3という答えが多いようですが、アドバイスいただいた中に間違い等がもしございましたら、教えていただければと思います。

回答No.3

spring135

lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}
=lim[x→0][{(sinx)^2-x^2}/x^2(sinx)^2]

(sinx)^2=(1-cos2x)/2
テーラー展開により
cos2x=1-(2x)^2/2+(2x)^4/24-...
=1-2x^2+2x^4/3-...
∴
(sinx)^2=(1-cos2x)/2=x^2-x^4/3+...

lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}
=lim[x→0][{(sinx)^2-x^2}/x^2(sinx)^2]
=lim[x→0][{x^2-x^4/3+...-x^2}/x^2(x^2-x^4/3+...)]
=lim[x→0][{-x^4/3+...}/x^4(1-x^2/3+...)]
=-1/3

お礼

spring135様ありがとうございました。大変参考になりました。

回答No.2

178-tall

>lim[x→0]{1/x^2-1/(sinx)^2}
>=lim[x→0][{(sinx)^2-x^2}/x^2(sinx)^2]
>=lim[x→0]{(sinx+x)(sinx-x)/x^2(sinx)^2}
>=lim[x→0]{(1+sinx/x)/xsinx}{(sinx/x-1)/xsinx}
>のように展開してみましたが、.........

これは、一つの有力な「展開」だと思います。
sinx/x は 1 にならないものの、1 に限りなく接近しますね。
これを利用しようという有力な発想です。

lim の中身を、
　1/x^2 - 1/(sinx)^2 = {(sinx + x)/(xsinx)} + {(sinx - x)/(xsinx)}
　= {(sinx/x) + (x/sinx)}*{(sinx/x) - (x/sinx)}
と変形してみると、2*(1-1) に限りなく接近するはず。