lim[x→0](e^x - e^-x)/x

質問

lim[x→0](e^x - e^-x)/xの解き方について、答えには
(e^x - e^-x)/x
=(e^2x - 1)/xe^x
=(e^x - 1)/x ・ (e^x + 1)/e^x
→→1・2
x→0
と書いてあるのですが
(e^x - 1)/xはxを0に近づけると0/0で不定形になるはずにも関わらず、上記の答えでは1に収束しています
これはなぜですか？

回答No.1

anisakis · ベストアンサー

f(x)=e^xとすれば
(e^x - 1)/x=
(f(x)-f(0))/(x-0)
xを0に近づければ
これはf'(0)=1だということです

お礼

なるほど
分かりました
ありがとうございました

回答No.5

alice_44

禁じ手かどうかなんて、そんな都合は知らんけど、
分子か分母が x-a のときに x→a にロピタルを
使うのは、循環論法だから、やめたほうがいい。

lim[x→0]((eのx乗)-1)/x = 1 は、下手をすると
e の定義である可能性もあるから、講義または
使用中の教科書で指数関数をどう定義したか
を遡って確認しないと、何やってんだか意味不な
計算になってしまうかもしれない。

お礼

そうだったんですか
分かりました
ありがとうございました

回答No.4

B-juggler

Ｎｏ．２です。補足をもらっているので一応だけども。

Ｎｏ．１　さんの　微分の式としてみてあげる（！）　が一番しっくり来ると思うよ。

それによって、（ｅ＾ｘ　－１）／ｘ　＝１　と出来るわけですね。
　＃結果的にそうなるように、微分の元式を利用しただけ。

展開もロピタルも禁止なら、ここに気がつくかどうかなのかな？

　正直σ(・・*)は、ぱっと気がつかなかった＾＾；

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.3

spring135

教科書に必ず次の証明が出ています。

lim(x→0)[(e^x-1)/x]=1

しっかり確認してください。

少し高級なことをやりたければf(x)=e^xの級数展開（テーラー展開）を使います。

e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+...x^n/n!+..

これをlim(x→0)[(e^x-1)/x]の式に代入すればすぐに出てきます。

受験用の必殺技ロピタルの定理というのもありますがそのうち勉強してください。

補足

すみません
書いておくべきでした
ロピタルの定理もテイラー展開も知ってるのですが今は使えないんです

回答No.2

B-juggler

ちょこっとお邪魔。

σ(・・*)代数だから得意ではないけれど。

普通にロピタルの定理は使えないかな？

高校だと出てきていないかもしれないけれど。
　ＷＩＫＩにもあると思うよ～。知っておいてもそんはないよ～。
　＃間違いやすいから気をつける♪

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

すみません、ロピタルの定理は知ってるのですが今は封印ということで