lim_[x→∞]（1+1/x）^x=e ですが、lim_[x→∞]（1+1/(x+1)）^(x+1)は？

質問

lim_[x→∞]（1+1/x）^x=e　ですが、x の代わりに(x+1)にした場合：
lim_[x→∞]（1+1/(x+1)）^(x+1)　どうなりますか？
たぶん e だとは思うのですが。解き方も教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

postro · ベストアンサー

＞y^(n+1)/y^n や (n+1)y/ny なんかだと＋１が生きてきますよね。
そのとおり、＋１を無視するわけにいきません。また、先の回答が＋１を無視しているわけでもありません。
この問題を少し変えて、
lim_[x→∞]（1+1/x）^(x+1)
とすれば、
lim_[x→∞]（1+1/x）^(x+1)=lim_[x→∞]（1+1/x）^x *（1+1/x）=e
(∵　x→∞ のとき(1+1/x）^x→e ,（1+1/x）→1）

lim_[x→∞]（1+1/(x+1)）^x
とすれば、y=x+1 とおいて
lim_[x→∞]（1+1/(x+1)）^x=lim_[y→∞]（1+1/y）^(y-1）=lim_[y→∞]（1+1/y）^y /（1+1/y）=e
(∵　y→∞ のとき(1+1/y）^y→e ,（1+1/y）→1）

結果は同じeですが、途中で＋１を無視せずに解答する必要があるでしょう。

お礼

べき乗部の文字以外の±１を分離することは思いつきませんでした。
たしかに説明を読むとなるほど、と思います。
ｘ→∞ のとき y=x+1=∞+1 で ∞+1 は ∞ということをしっかり
認識できていないことが問題なのかもとか思いました。
∞の感覚がまだしっかり身についていないのかもしれません。
再度回答ありがとうございました。

回答No.3

noname#26313

（1+1/(x+1)）^(x+1) の、1/(x+1) は、分母子を x で割ると、
(1/x)/{1+(1/x)} となり、x → ∞のとき、分母は限りなく 1 に近づくので
(1/x)/{1+(1/x)} → 1/x に限りなく近づきます。
従って、
lim_[x→∞]（1+1/(x+1)）^(x+1)＝lim_[x→∞]{（1+(1/x)）^x}・{1+(1/x)}
{（1+(1/x)）^x} は限りなく e に近づき、{1+(1/x)} は限りなく 1 に近づくので
（1+1/(x+1)）^(x+1)　全体は、e に近づきます。

お礼

＞(1/x)/{1+(1/x)} → 1/x に限りなく近づきます。
ここも分母の微小な1/xを無視する作業が必要ですよね。
やはり、自分には無限の数学的感覚が染み付いてないようです。
もう少し勉強してみます。回答ありがとうございました。

回答No.1

postro

lim_[x→∞]（1+1/(x+1)）^(x+1)
において、y=x+1 とおけば、
x→∞　のとき　y→∞ だから
lim_[x→∞]（1+1/(x+1)）^(x+1)=lim_[y→∞]（1+1/y）^y=e
とやってしまうのが普通だと思いますが、この方法に納得できないから
質問されているのでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。
たしかに言われてみると納得できそうなのですが、
＋１の意味がなくなっているような気がしてしっくり
こないのです。無限にくらべて＋１がたいしたことないことは
なんとなくわかるのですが・・・
y^(n+1)/y^n や (n+1)y/ny なんかだと＋１が生きてきますよね。