P(x)と｛P(x)｝^2

質問

【Q(x)を2次式とする。整式P(x)はQ(x)では割り切れないが、{P(x)}^2はQ(x)で割り切れるという。このとき、2次方程式Q(x)=0は重解を持つことを示せ。】
という問題なのですが、

【P(x)をQ(x)で割ったときの商をA(x),余りをpx+qとおいてpx+q≠0………(i)
余りは0でないのでp,qの少なくとも一方は0でない。
P(x)=Q(x)A(x)+px+q
｛P(x)｝^2=｛Q(x)A(x)｝^2+2Q(x)A(x)(px+q)+(px+q)^2
ここで、｛P(x)｝^2はQ(x)で割り切れるので(px+q)^2はQ(x)で割り切れる。
よって(px+q)^2はkQ(x)(kは定数)と表せる。
(I)K=0のとき、px+q=0となり、(i)に反する。
(II)K≠0のとき、Q(x)=(px+q)^2/k
よって、Q(x)=0となるのはpx+q=0のとき・・・】
とやったらpx+q=0となってしまいまた(i)に反するような気がします。
どこか間違っているのだと思うのですがどこが間違っているのでしょうか？
どうぞよろしくお願いします。

回答No.2

nobuyuki0505 · ベストアンサー

まず、最初に、上の証明は間違ったところはありません。
とても綺麗な証明です。

疑問に思っているのは、［恒等式］と［方程式］の違いだと思われます。

［恒等式］とは、どんなxに対しても、その式が成り立つときに使います。

［方程式］とは、ある具体的なxに対してのみ、その式が成り立つときに使います。

質問者様の回答の、
(I)K=0のとき、px+q=0となり、(i)に反する。
のpx+q=0は、px+qという式自体が0となる、という意味なので、恒等式です。
このときは、xの係数と定数項がともに0となればよいので、p=q=0です。

(II)K≠0のとき、Q(x)=(px+q)^2/k
このときの、Q(x)=0を解くのは、不等式です。
px+q=0を解くので、x=-q/pです。

同じpx+q=0でも、
どんなxに対してもその式が成り立つようにp,qを決めるのか、
その式を方程式とみて、xを求めるのか、と2つの解釈があるわけです。

回答No.3

178-tall

>【P(x)をQ(x)で割ったときの商をA(x),余りをpx+qとおいてpx+q≠0………(i)
>余りは0でないのでp,qの少なくとも一方は0でない。
>P(x)=Q(x)A(x)+px+q　　　　　　　　　　　　　　←　[*A]
>｛P(x)｝^2=｛Q(x)A(x)｝^2+2Q(x)A(x)(px+q)+(px+q)^2　　　　←　[*B]
>ここで、｛P(x)｝^2はQ(x)で割り切れるので(px+q)^2はQ(x)で割り切れる。　　←　[*C]
> …】
　　　↑
[*B] を見て [*C] だと断ずるわけにはいきません。

[*A] にて、P(x) が Q(x)で割り切れないとき、剰余項 (px+q) で p, q の少なくとも一方が非零ですが、 その剰余項が Q(x) で割り切れるはずない…のと同じハナシです。

回答No.1

mmitsukuni

２乗した式の　・・・・＋(px+q)^2　の部分は，
この式をQ(x)で割った「余り」部分ではありません．
２乗したので元の式の「余り」部分も２乗されて次数が2次に増加してます．
だから，この式が割り切れると条件は，この部分が０ということではありません．

現に，(px+q)^2＝kQ(x)と置いているということは，
この部分が余りなんかではなく，まだQ(x)で割ることが出来て，
その「商」がkになるとして置いているわけですから．

まあ，ここでQ(x)は２次式だから(ax^2+bx+c などと置くと)
結局ｋ(px+q)^2と成らざるをえないので，すぐに証明終りですけど．