数学（高次方程式）

質問

xの３次の整式Ｐ（ｘ）＝kx³－（３k＋１）x²－（k³－２k²－k＋a）x＋（k－２）（k²＋１）があり

P（１）＝０である　ただしa、kは定数で　０＜ｋ＜１である

１）aの値を求めよ

２）方程式P（ｘ）＝０を解け

３）方程式P（ｘ）＝０の解のうち１ではないものをα、β（α＞β）とする、α－βをkで表せ
　　　　　　　　　　　またα－βのとりうる値の最小値とそのときのkの値を求めよ

答えと途中計算式を教えてください。お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

P(x)=k*x^3 -(3k+1)x^2 -(k^3 -2k^2 -k+a)x+(k-2)(k^2+1)

1)
P(1)=-a-3=0 より　a=-3

2)
P(x)に　a=-3　を代入して因数分解すると
P(x)=(x-1)(x+k-2)*(kx-k^2-1)
P(x)=0 (0<k<1) を解くと
　x=1, x=2-k, x=k+(1/k)

3)
x=2-k, x=k+(1/k)の大小を調べどちらがα、βかを決定する。

g(k)={k+(1/k)}-(2-k)=2k+(1/k)-2
≧2√(2k(1/k)) -2
　(相加平均・相乗平均の関係より等号はk=1/√2の時成立)
= 2(√2)-2＞0 …(★)

従って　　k+(1/k)　＞ 2-k

　∴α=k+(1/k), β=2-k

α-β={k+(1/k)}-(2-k)=2k+(1/k)-2

　α-β=g(k)=2k+(1/k)-2≧2(√2)-2　(∵(★)より)

k=1/√2の時　α-β=g(k)は最小値　g(1/√2)=2(√2)-2 をとる。

お礼

とても分かりやすい説明ありがとうございます

回答No.1

hrsmmhr

１）ｘ＝１を入れたら算数の計算でできます
２）（ｘ－１）で括りましょう
　kx^3-(3k+1)x^2....
=(x-1)kx^2+kx^2-(3k+1)x^2....
=(x-1)kx^2+(x-1)(-(2k+1))x-(2k+1)x....
のように括ります
３）（ｘ－１）を除いた2次式の解は一方が-1より大きく一方が-1以下です
大きいほうから小さいほうを引いて微分しましょう